ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. Используя формулы полной вероятности и Бейеса, решить следующую задачу.
В учреждении три чиновника готовят копии документов. Первый чиновник обрабатывает 40% всех форм, второй - 35%, третий - 25%. У первого чиновника удельный вес ошибок составляет 0.04, у второго - 0.06, у третьего - 0.03. В конце дня, выбрав случайно один из подготовленных документов, руководитель констатировал, что в нем есть ошибка. Какова вероятность, что ошибку допустил первый чиновник.
Имеется три чиновника: первый, второй и третий. Вероятность того, что документ обрабатывается первым чиновником, равна 0.4. Аналогично, вероятность для второго чиновника составляет 0.35, а для третьего - 0.25.
Теперь перейдем к вероятности ошибки для каждого чиновника. У первого чиновника удельный вес ошибок составляет 0.04, у второго - 0.06, у третьего - 0.03.
Мы хотим найти вероятность того, что ошибку допустил первый чиновник, при условии того, что в выбранном случайно документе была обнаружена ошибка.
Для решения этой задачи воспользуемся формулой Байеса:
P(A|B) = (P(B|A) * P(A)) / P(B)
где P(A|B) - вероятность события A при условии B,
P(B|A) - вероятность события B при условии A,
P(A) - вероятность события A,
P(B) - вероятность события B.
В нашем случае:
A - ошибка была допущена первым чиновником,
B - в выбранном документе обнаружена ошибка.
Вероятность P(A) равна вероятности обработки документа первым чиновником, то есть 0.4.
Вероятность P(B) будет суммой вероятностей обнаружения ошибки для каждого чиновника:
P(B) = (P(B|A1) * P(A1)) + (P(B|A2) * P(A2)) + (P(B|A3) * P(A3))
где P(B|A1) - вероятность обнаружения ошибки для первого чиновника,
P(A1) - вероятность обработки документа первым чиновником,
P(B|A2) - вероятность обнаружения ошибки для второго чиновника,
P(A2) - вероятность обработки документа вторым чиновником,
P(B|A3) - вероятность обнаружения ошибки для третьего чиновника,
P(A3) - вероятность обработки документа третьим чиновником.
P(B) = (0.04 * 0.4) + (0.06 * 0.35) + (0.03 * 0.25) = 0.016 + 0.021 + 0.0075 = 0.0445
Теперь нам остается найти вероятность P(B|A1) - вероятность обнаружения ошибки при условии, что она была допущена первым чиновником.
Для этого воспользуемся формулой полной вероятности:
P(B|A1) = P(B|A1) * P(A1) / P(A)
P(B|A1) = 0.04 * 0.4 / P(B)
P(B|A1) = 0.04 * 0.4 / 0.0445 ≈ 0.3608
Таким образом, вероятность того, что ошибку допустил первый чиновник, при условии обнаружения ошибки в выбранном документе, составляет около 0.3608 или примерно 36.08%.
Надеюсь, объяснение было понятным и помогло вам разобраться с задачей! Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать.