Контрольна з математики-№1. Знайдіть корінь рівняння 5 х – 60 = 12 – х. №2. Знайдіть корінь рівняння 9 (3 х -2) – 6 = 5(4 х – 1) + 2
№3. Розв'яжіть задачу складанням рівняння:
На двох складах разом є 2880 т вугілля. Скільки вугілля на кожному складі, якщо на першому його складі на 400 т менше , ніж на другому?
№4. Розв'яжіть задачу складанням рівняння:
В одному ящику було в 7 разів більше апельсинів, ніж у другому. Коли з першого ящика взяли 38 апельсинів, а з другого – 14, то в другому залишилося на 78 апельсинів менше, ніж у першому. Скільки апельсинів було у кожному ящику спочатку?

👇

Открыть все ответы

Ответ:

NeZoXshock

16.10.2020

ответ: $\dfrac{63}{40}$ Пошаговое объяснение:Нарисуем сначала нашу область D.1) y = x

Это прямая, которая проходит через начало координат и находится под углом в 45 градусов от полуоси Ох, проходит например через точку (1 1)

2) y = x² - 2

Это парабола (перед нами квадратный трехчлен) Вершина в точке (0 2), образована путем смещения всех точек параболы у = х² на 2 единицы вниз

Смотрите вложение!

Мы интегрируем по красной области1) Запишем границы

х меняется от -1 до 2 это границы, х координаты точек пересечения (видно из графика)

Для того, чтобы из найти решим уравнение

$\displaystyle x^2-2=x\\x^2-x-2=0\\x^2-2x+x-2=0\\x(x-2)+(x-2)=0\\(x+1)(x-2)=0\\\left [ {{x=-1} \atop {x=2}} \right.$

Это будут первые границы по х

Границы по у - это функции от х. Снизу (нижняя граница) функция y=x^2-2 а верхняя граница функция

Тогда запишем двойной интеграл как пару интегралов, зная границы

$\displaystyle \iint\limits_D xy^2dxdy=\int\limits^2_{-1}dx\int\limits^x_{x^2-2x}xy^2dy$

Решим данный интеграл

1 Проинтегрируем xy^2 по у

$\displaystyle\int xy^2dy=x\displaystyle\inty^2dy=x\cdot\dfrac13y^3=\dfrac13xy^3$

константу не пишу специально, так как сейчас буду писать пределы

2 Вычислим

$\dfrac13xy^3\Bigg|^x_{x^2-2}=\dfrac13x\cdotx^3-\dfrac13x\cdot(x^2-2)^3=\dfrac13x\Big(x^3-(x^2-2)^2\Big)=-\dfrac13x^7+2x^5+\dfrac13x^4-4x^3+\dfrac83x$

3 Проинтегрируем полученную функцию по х

$\displaystyle \int\Bigg(-\dfrac13x^7+2x^5+\dfrac13x^4-4x^3+\dfrac83x\Bigg)dx=\\=-\int\dfrac13x^7dx+\int2x^5dx+\int\dfrac13x^4dx-\int4x^3dx+\int\dfrac83xdx=\\=-\dfrac13\int x^7dx+2\int x^5dx+\dfrac13\int x^4dx-4\int x^3dx+\dfrac83\int xdx=\\=-\dfrac1{24}x^8+\dfrac13x^6+\dfrac1{15}x^5-x^4+\dfrac43x^2$

4 Подставляем пределы и считаем

$-\dfrac1{24}x^8+\dfrac13x^6+\dfrac1{15}x^5-x^4+\dfrac43x^2\Bigg|^2_{-1}=-\dfrac{32}3+\dfrac{64}3+\dfrac{32}{15}-16+\dfrac{16}{3}=\dfrac{63}{40}$

Вычислить двойной интеграл xy^2 D: y=x, x^2 - 2 =y

4,4(83 оценок)

Ответ:

Kepka229

16.10.2020

Сначала определим, сколько действительных корней вообще может иметь данное уравнение. Рассмотрим функцию f(x) = 2^x - 4x .

Её производная $f'_x (x) = 2^x \ln{2} - 4 .$ Найдём её ноли.

f'_x (x) = 0

;

$2^x \ln{2} - 4 = 0$ ;

$2^x \ln{2} = 4$ ;

$2^x = 4/\ln{2}$ ;

$x = \log_2{ ( 4/\ln{2} ) }$ ;

$x = \log_2{4} - \log_2{ \ln{2} }$ ;

$x = 2 - \frac{ \ln{ \ln{2} } }{ \ln{2} } \approx 2 - [-0.528766] = 2.528766$ ;

При $x < 2 - \frac{ \ln{ \ln{2} } }{ \ln{2} } ,$ например при x = 0 : : : f'_x (x) < 0

;

При $x 2 - \frac{ \ln{ \ln{2} } }{ \ln{2} } ,$ например при x = 5 : : : f'_x (x) 0

;

При

функция $f(x) = 2^0 - 4 \cdot 0 = 1 - 0 = 1 0$ ;

При x = 2

функция $f(x) = 2^2 - 4 \cdot 2 = 4 - 8 = -4 < 0$ ;

При x = 5

функция $f(x) = 2^5 - 4 \cdot 5 = 32 - 20 = 12 0$ ;

А это значит, что до точки $x = 2 - \frac{ \ln{ \ln{2} } }{ \ln{2} }$ функция f(x)

строго убывает, причём переходя от положительных при x = 0

значений к отрицательным, а значит имеет до указанной точки ровно один корень. А далее от точки $x = 2 - \frac{ \ln{ \ln{2} } }{ \ln{2} }$ функция f(x)

строго возрастает, причём переходя от отрицательных значений к положительным при x = 5 ,

а значит, имеет после указанной точки ровно ещё один корень.

Таким образом, заданное уравнение имеет РОВНО ДВА действительных корня. Найдём их.

Во-первых, у уравнения есть очевидный корень x_1 = 4 ,

заявленный и в приведённом условии. Далее порассуждаем практически:

x=0) $2^0 4 \cdot 0$ ;

x=1) $2^1 < 4 \cdot 1$ ;

x=2) $2^2 < 4 \cdot 2$ ;

x=3) $2^3 < 4 \cdot 3$ ;

x=4) $2^4 = 4 \cdot 4$ ;

x=5) $2^5 4 \cdot 5$ ;

При x 4 ,

производная $(2^x)'_x = 2^x \ln{2} 2^4 \ln{\sqrt{e}} = 8$ больше производной (4x)'_x = 4

, т.е. дальше левая часть уравнения, растёт быстрее, чем правая, а значит, других корней при x 4

быть не может.

При x < 0 ,

левая часть уравнения положительна, а правая отрицательна, так что других корней при x < 0

быть не может.

Однако, как видно из оценок (x=0) и (x=1) уравнение явно имеет решение на $x \in (0,1)$ , так как при сравнении двух непрерывных функций на этом интервале меняется знак.

Предположим, что второе решение рационально. Тогда слева мы будем иметь арифметический корень некоторой степени из двойки, возведённой в некоторую другую несократимую и меньшую степень, т.е. если $x = \frac{p}{q} ,$ где $\{ p < q \} \in N ,$ то: $2^x = 2^\frac{p}{q} = (\sqrt[q]2)^p < 2 .$ Это число, очевидно иррационально, что легко доказать от обратного методом Евклида. Однако справа должно быть рациональное число $4 \cdot \frac{p}{q} = \frac{4p}{q} ,$ а значит, мы пришли к противоречию. Таким образом, второе решение иррационально.

Если, тем не менее, такой корень должен быть найден, то нам придётся привлечь некоторые не очень сложные знания из высшей математики, поскольку иначе данная задача не может быть решена.

В высшей математике используется множество дополнительных функций. Одна из них, функция Ламберта x = W(t) ,

по определению дающая решение, т.е. являющаяся обратной, к функции t = xe^x .

Функция вводится аналогично, скажем, функции x = arctg(t) ,

являющейся решением уравнения t = tg{x} ,

но в отличие от арктангенса, функция Ламберта используется намного реже в прикладных задачах (в основном в задачах теплопроводности), и поэтому – менее широко известна. Функция вводится на расширенной комплексной плоскости, т.е. алгебраически, а не арифметически, а значит по определению, может быть многозначной, и является таковой при отрицательных значениях аргумента t ,

хотя нам достаточно будет знать лишь её действительные значения, которых при отрицательных аргументах всегда два. Вид действительных ветвей функции Ламберта представлен на приложенном изображении.

Преобразуем наше уравнение к функции Ламберта:

2^x = 4x

;

$(\frac{1}{2})^x = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x}$ ;

$x \cdot e^{ x \ln{ \frac{1}{2} } } = \frac{1}{4}$ ;

$- x \ln{2} \cdot e^{ - x \ln{2} } = - \frac{ \ln{2} }{4}$ ;

Обозначим: $y = - x \ln{2} ,$ тогда:

$y e^y = t = - \frac{ \ln{2} }{4} ,$ отсюда через функцию Ламберта:

$y = W(t) = W( -\frac{ \ln{2} }{4} ) ,$

$x = - \frac{y}{ \ln{2} } = - \frac{ W( -\frac{ \ln{2} }{4} ) }{ \ln{2} }$ ;

[[[ Продолжение на изображении. Лимит сервиса 5000 символов не позволяет дописать решение. ]]]

Давным-давно мне задали : 2 в степени х=4х и сказали: решишь - поступишь в упи (свердловск) я решил