Question

Случайные величины х и у связаны соотношением у = 2 – 3х, причем М[x] = 2 и D[x] = 4. Найдите М[у], D[у], s [у] и К [x, у].

Answer 1

Добрый день!

Для решения этого вопроса нам понадобится использовать свойства математического ожидания и дисперсии случайных величин.

1. Найдем математическое ожидание у (М[у]):

М[у] = М[2 - 3х]

Так как математическое ожидание является линейной функцией, то мы можем вынести константу 2 за знак математического ожидания:

М[у] = 2 - 3 * М[х]

Теперь нам нужно найти М[х]. По условию в задаче указано, что М[х] = 2, значит мы можем подставить это значение:

М[у] = 2 - 3 * 2 = 2 - 6 = -4

Таким образом, М[у] = -4.

2. Найдем дисперсию у (D[у]):

D[у] = D[2 - 3х]

Так как дисперсия также является линейной функцией, то мы можем вынести квадрат коэффициента из-под знака дисперсии:

D[у] = (2 - 3 * М[х])^2

Теперь нам нужно найти М[х]. По условию в задаче указано, что М[х] = 2, значит мы можем подставить это значение:

D[у] = (2 - 3 * 2)^2 = (2 - 6)^2 = (-4)^2 = 16

Таким образом, D[у] = 16.

3. Найдем среднее квадратическое отклонение у (s[у]):

s[у] = √D[у]

s[у] = √16 = 4

Таким образом, s[у] = 4.

4. Найдем коэффициент корреляции между х и у (К[x, у]):

К[x, у] = cov[x, у] / (s[x] * s[у])

Для начала найдем cov[x, у], или ковариацию между х и у:

cov[x, у] = М[ху] - М[х] * М[у]

Где М[ху] - это математическое ожидание произведения х и у.

Подставим изначальное соотношение у = 2 - 3х в формулу ковариации и найдем М[ху]:

М[ху] = М[х * (2 - 3х)]

Раскроем скобки и вынесем коэффициент 3 за знак математического ожидания:

М[ху] = М[2х - 3х^2]

Теперь найдем М[ху]. По условию в задаче указано, что М[х] = 2, значит мы можем подставить это значение:

М[ху] = 2 * 2 - 3 * М[х^2]

Для решения этой задачи нам также понадобится второй момент х, который выражается через дисперсию и математическое ожидание:

D[x] = М[x^2] - (М[x])^2
D[x] = М[x^2] - 2^2
D[x] = М[x^2] - 4

М[ху] = 2 * 2 - 3 * (D[x] + (М[x])^2)
М[ху] = 4 - 3 * (4 + 2^2)
М[ху] = 4 - 3 * (4 + 4)
М[ху] = 4 - 3 * (8)
М[ху] = 4 - 24
М[ху] = -20

Теперь найдем ковариацию:

cov[x, у] = М[ху] - М[х] * М[у]
cov[x, у] = -20 - 2 * (-4)
cov[x, у] = -20 + 8
cov[x, у] = -12

Подставим найденные значения в формулу для коэффициента корреляции:

К[x, у] = cov[x, у] / (s[x] * s[у])
К[x, у] = -12 / (√4 * √16)
К[x, у] = -12 / (2 * 4)
К[x, у] = -12 / 8
К[x, у] = -1.5

Таким образом, К[x, у] = -1.5.

В итоге, М[у] = -4, D[у] = 16, s[у] = 4 и К[x, у] = -1.5.

Я надеюсь, что данное объяснение будет понятным для школьника. Если возникли еще вопросы, пожалуйста, задавайте!