Для увеличения дробной части смешанного числа (переноса единицы), нам нужно увеличить числитель дроби на количество целых единиц, которые указаны в смешанном числе, и затем это число записать в виде неправильной дроби с новым числителем.
1) 2 3/8:
В данном случае у нас есть 2 целых единицы и дробь 3/8. Чтобы увеличить дробную часть, мы должны прибавить 2 к числителю дроби: 2 + 3 = 5. Итак, ответ: 2 3/8 = 2 5/8.
2) 3 5/9:
У нас есть 3 целых единицы и дробь 5/9. Прибавляем 3 к числителю дроби: 5 + 3 = 8. Ответ: 3 5/9 = 3 8/9.
3) 4 1/11:
У нас есть 4 целых единицы и дробь 1/11. Прибавляем 4 к числителю дроби: 1 + 4 = 5. Ответ: 4 1/11 = 4 5/11.
4) 5 7/10:
У нас есть 5 целых единиц и дробь 7/10. Прибавляем 5 к числителю дроби: 7 + 5 = 12. Ответ: 5 7/10 = 5 12/10. Дробь 12/10 можно упростить, разделив числитель и знаменатель на их НОД, который в данном случае равен 2. Поэтому: 5 7/10 = 5 6/5.
5) 3 2/3:
У нас есть 3 целых единицы и дробь 2/3. Прибавляем 3 к числителю дроби: 2 + 3 = 5. Ответ: 3 2/3 = 3 5/3.
6) 6 1/6:
У нас есть 6 целых единиц и дробь 1/6. Прибавляем 6 к числителю дроби: 1 + 6 = 7. Ответ: 6 1/6 = 6 7/6.
7) 10 4/13:
У нас есть 10 целых единиц и дробь 4/13. Прибавляем 10 к числителю дроби: 4 + 10 = 14. Ответ: 10 4/13 = 10 14/13.
8) 4 5/12:
У нас есть 4 целых единицы и дробь 5/12. Прибавляем 4 к числителю дроби: 5 + 4 = 9. Ответ: 4 5/12 = 4 9/12. Подобно примеру №4, дробь 9/12 можно упростить, разделив числитель и знаменатель на их НОД, равный 3. Таким образом: 4 5/12 = 4 3/4.
9) 1 11/100:
У нас есть 1 целая единица и дробь 11/100. Прибавляем 1 к числителю дроби: 11 + 1 = 12. Ответ: 1 11/100 = 1 12/100. Дробь 12/100 можно упростить, разделив числитель и знаменатель на их НОД, равный 4. Поэтому: 1 11/100 = 1 3/25.
10) 2 3/13:
У нас есть 2 целых единицы и дробь 3/13. Прибавляем 2 к числителю дроби: 3 + 2 = 5. Ответ: 2 3/13 = 2 5/13.
11) 13 3/5:
У нас есть 13 целых единиц и дробь 3/5. Прибавляем 13 к числителю дроби: 3 + 13 = 16. Ответ: 13 3/5 = 13 16/5.
12) 7 6/7:
У нас есть 7 целых единиц и дробь 6/7. Прибавляем 7 к числителю дроби: 6 + 7 = 13. Ответ: 7 6/7 = 7 13/7.
13) 8 10/21:
У нас есть 8 целых единиц и дробь 10/21. Прибавляем 8 к числителю дроби: 10 + 8 = 18. Ответ: 8 10/21 = 8 18/21. Дробь 18/21 можно упростить, разделив числитель и знаменатель на их НОД, равный 3. Получаем: 8 10/21 = 8 6/7.
14) 11 1/5:
У нас есть 11 целых единиц и дробь 1/5. Прибавляем 11 к числителю дроби: 1 + 11 = 12. Ответ: 11 1/5 = 11 12/5.
15) 5 11/14:
У нас есть 5 целых единиц и дробь 11/14. Прибавляем 5 к числителю дроби: 11 + 5 = 16. Ответ: 5 11/14 = 5 16/14. Дробь 16/14 можно упростить, разделив числитель и знаменатель на их НОД, равный 2. Получаем: 5 11/14 = 5 8/7.
16) 3 17/25:
У нас есть 3 целых единицы и дробь 17/25. Прибавляем 3 к числителю дроби: 17 + 3 = 20. Ответ: 3 17/25 = 3 20/25. Дробь 20/25 можно упростить, разделив числитель и знаменатель на их НОД, равный 5. Получаем: 3 17/25 = 3 4/5.
17) 16 9/10:
У нас есть 16 целых единиц и дробь 9/10. Прибавляем 16 к числителю дроби: 9 + 16 = 25. Ответ: 16 9/10 = 16 25/10. Дробь 25/10 можно упростить, разделив числитель и знаменатель на их НОД, равный 5. Получаем: 16 9/10 = 16 5/2.
18) 20 4/51:
У нас есть 20 целых единиц и дробь 4/51. Прибавляем 20 к числителю дроби: 4 + 20 = 24. Ответ: 20 4/51 = 20 24/51.
Таким образом, мы увеличили дробные части указанных смешанных чисел, перенося единицу в числитель дроби.
Начнем с правой стороны: ctg(n/4 + a/2).
Воспользуемся тригонометрическими тождествами, чтобы свести этот тангенс к синусу и косинусу.
ctg(n/4 + a/2) = 1/tg(n/4 + a/2)
Пользуясь тригонометрическим тождеством tg(x) = sin(x)/cos(x), получим:
1/tg(n/4 + a/2) = 1/(sin(n/4 + a/2)/cos(n/4 + a/2))
Используя тождество a/b = a*1/b, получим:
1/(sin(n/4 + a/2)/cos(n/4 + a/2)) = cos(n/4 + a/2)/sin(n/4 + a/2)
Теперь рассмотрим левую сторону тождества: 1 - sin(a)/cos(a).
Приведем эту дробь к общему знаменателю:
1 - sin(a)/cos(a) = (cos(a) - sin(a))/cos(a)
Используя формулу сложения косинуса и синуса\
cos(a) - sin(a) = -sin(a - pi/4)
Таким образом, левая сторона тождества равна -sin(a - pi/4)/cos(a).
Мы видим, что правая и левая стороны тождества имеют похожую структуру, но с разными знаками. Чтобы свести их к одному виду, умножим их на -1:
-sin(a - pi/4)/cos(a) = sin(pi/4 - a)/cos(a)
Теперь мы получили выражение, эквивалентное левой стороне тождества.
Таким образом, тождество можно записать следующим образом:
1 - sin(a)/cos(a) = ctg(n/4 + a/2) = sin(pi/4 - a)/cos(a)
Это доказывает искомое тождество.