Question

Даны три неколлинеарных вектора a

,
b

и
c

.
Известно, что
m

=
k
a

+
k
2

b

+
2
c

и
n

=
a

+
k
b

+
c

коллинеарны. Найдите значение
k
.

Answer 1

Перед тем, как начать решение этой задачи, давайте разберемся с некоторыми основными понятиями.

Вектор - это математический объект, который имеет направление и длину. Обычно векторы обозначаются буквами с стрелкой над ними, например, вектор a обозначается как a→.

Коллинеарные векторы - это векторы, которые лежат на одной прямой или параллельны друг другу.

Неколлинеарные векторы - это векторы, которые не лежат на одной прямой и не параллельны друг другу.

Теперь приступим к решению задачи.

У нас даны три неколлинеарных вектора a→, b→ и c→. Известно, что вектор m→ является линейной комбинацией векторов a→, b→ и c→ следующим образом:
m→ = ka→ + k2b→ + 2c→, где k и k2 - некоторые константы.

Также известно, что вектор n→ является коллинеарным векторам a→, b→ и c→.
n→ = a→ + kb→ + c→.

Нам нужно найти значение k.

Из определения коллинеарности векторов следует, что если два вектора коллинеарны, то они должны быть параллельными или противоположно направленными.

Так как нам известно, что вектор n→ коллинеарен вектору a→, b→ и c→, то это означает, что вектор n→ должен быть параллельным или противоположно направленным другому вектору, который получается путем суммирования векторов a→, kb→ и c→.

Мы можем представить вектор n→ как линейную комбинацию векторов a→, b→ и c→:
n→ = ma→, где m - некоторая константа.

Подставим выражение для вектора m→, которое мы получили ранее:
n→ = (ka→ + k2b→ + 2c→)a→.

Теперь разложим это выражение:
n→ = ka→a→ + k2b→a→ + 2c→a→.

Используем свойство скалярного произведения векторов:
a→a→ = |a→|^2.

Так как векторы a→, b→ и c→ неколлинеарны, то их скалярное произведение не равно нулю.
аа = |a→|^2 ≠ 0.

Далее посмотрим на выражение для вектора n→:
n→ = ka→a→ + k2b→a→ + 2c→a→.

Так как векторы a→, b→ и c→ неколлинеарны, то скалярные произведения b→a→ и c→a→ также не равны нулю:
bа ≠ 0 и cа ≠ 0.

Теперь подставим выражение для вектора n→ в полученное выражение:
ma→ = (ka→a→ + k2b→a→ + 2c→a→).

Раскроем скобки:
ma→ = ka→a→ + k2b→a→ + 2c→a→.

Заметим, что вектор a→a→ можно заменить на |a→|^2:
ma→ = ka→|a→|^2 + k2b→a→ + 2c→a→.

Теперь приведем подобные слагаемые:
ma→ = (ka→ + k2b→ + 2c→)a→.

Мы получили, что выражения для вектора n→ и вектора ma→ равны:
n→ = ma→.

Подставим значения:
a→ + kb→ + c→ = (ka→ + k2b→ + 2c→)a→.

Раскроем скобки:
a→ + kb→ + c→ = ka→a→ + k2b→a→ + 2c→a→.

Теперь разложим это выражение:
a→ + kb→ + c→ = ka→a→ + k2b→a→ + 2c→a→.

Используем свойство скалярного произведения векторов:
a→a→ = |a→|^2, b→a→ = |b→||a→|cosθ, c→a→ = |c→||a→|cosϕ, где θ и ϕ - углы между соответствующими векторами.

Теперь перепишем полученное равенство:
a→ + kb→ + c→ = ka→|a→|^2 + k2b→|b→||a→|cosθ + 2c→|c→||a→|cosϕ.

Разделим обе части равенства на |a→|, чтобы избавиться от факторов |a→| в каждом слагаемом:
1 + k|b→|cosθ + 2|c→|cosϕ = k|a→| + k2|b→|cosθ + 2|c→|cosϕ.

Теперь приведем подобные слагаемые:
1 + 2|c→|cosϕ = k(|a→| + 2|b→|cosθ + |c→|).

Основная идея состоит в том, что векторы лежат на одной прямой или параллельными друг другу. Векторы a→, b→ и c→ неколлинеарны, поэтому скалярные произведения b→a→ и c→a→ не могут быть равными нулю. То есть, b→a→ и c→a→ не могут быть противоположно направленными векторами. Следовательно, cosθ и cosϕ не равны -1.
Следовательно, слагаемое с |b→|cosθ и слагаемое с |c→|cosϕ не равны нулю, и мы можем делить обе части равенства на эти слагаемые.

Разделим обе части равенства на (|a→| + 2|b→|cosθ + |c→|):
1/(|a→| + 2|b→|cosθ + |c→|) + 2|c→|cosϕ/(|a→| + 2|b→|cosθ + |c→|) = k.

Теперь мы получили значение k:
k = 1/(|a→| + 2|b→|cosθ + |c→|) + 2|c→|cosϕ/(|a→| + 2|b→|cosθ + |c→|).

Следовательно, значение k зависит от длин векторов a→, b→ и c→, а также от углов θ и ϕ.