Question

Найдите угол между векторами

Answer 1

$\alpha = \frac{2\pi}{3}$

или

$\alpha = 120^{ \: o}$

Пошаговое объяснение:

$a(-2;-2;0); \:\:b(3;0;-3)$

Обозначим искомый угол как

$\alpha$

Тогда угол можно выразить через скалярное произведение и длины векторов:

$\cos \alpha = \dfrac{( \: \vec{a}, \vec{b} \: )}{|\vec{a}| {\cdot }|\vec{b}| }$

$\cos\alpha{ = }\dfrac{ - 2 \cdot3+(- 2) \cdot0+0 \cdot( - 3)}{\sqrt{( - 2)^2+( - 2)^2+0^2}\cdot{\sqrt{3^2 +0^2 +( - 3)^2 }}}$

$\cos \alpha = \frac{a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}\cdot{\sqrt{b_x^2+b_y^2+b_z^2}}} \\$

$\small{\cos\alpha{ = }\dfrac{ - 2 \cdot3{+}(- 2) \cdot0+0 \cdot( - 3)}{\sqrt{( - 2)^2{+}( -2)^2{+}0^2}\cdot{\sqrt{3^2{ +}0^2{ +}( - 3)^2 }}}} = \\ = \frac{ - 6 + 0 + 0}{{\sqrt{4 + 4 + 0}\cdot{\sqrt{9 + 0 + 9 }}}} = \frac{ - 6}{ \sqrt{8 \: }{\cdot} \sqrt{18} } = \\ = - \frac{6}{ \sqrt{8{\cdot}18} } = - \frac{6} {\sqrt{4{\cdot}2\cdot9{\cdot}2} } = - \frac{6}{ \sqrt{16{\cdot}9} } = \\ = - \frac{6}{ \sqrt{ {4}^{2} {\cdot} {3}^{2} } } = - \frac{6}{4\cdot3} = - \frac{6}{12} = - \frac{1}{2}$

Итак,

$\cos \alpha = - \frac{ 1}{2} = \\ \alpha = \arccos( - \frac{1}{2} ) + 2\pi{n}, \: n \in \Z\\ = \alpha = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi{n}, \: n \in \Z$

Однако, угол м/ду векторами может принимать значения от 0 до 180° или от 0 до "Пи"

$\begin{cases} \bigg[ \: \Large{^{\alpha = \frac{2\pi}{3} + 2\pi{n}, \: n \in \Z}_ {{\alpha = - \frac{2\pi}{3} + 2\pi{n}, \: \: n \in \Z} }} \: \: \\ \alpha \in [0; \: \pi] \end{cases} = \: \: \alpha = \frac{2\pi}{3}$

$\alpha = \frac{2\pi}{3} \\$

или

$\alpha = 120^{o}$