3.2. Комплексные числа
Понятие мнимой единицы
Допустим, что существует такое число, квадрат которого равен – 1. Обозначим это число буквой i; тогда можно записать: .Число i будем называть мнимой единицей (i – начальная буква французского слова imaginaire – “мнимый”), а предыдущее равенство будем считать определением мнимой единицы.
Из этого равенства находим . Введение мнимой единицы позволяет нам теперь извлекать корни квадратные из отрицательных чисел. Например,
Определение комплексного числа
Мы знакомы с действительными числами и с мнимыми единицами. Рассмотрим теперь числа нового вида.
Числа вида – действительные числа, i – мнимая единица, будем называть комплексными.
Число a будем назвать действительной частью комплексного числа, bi – мнимой частью комплексного числа, b – коэффициентом при мнимой части. Возможны случаи, когда действительные числа a и b могут быть равными нулю. Если a = 0, то комплексное число bi называется чисто мнимым. Если b = 0, то комплексное число a + bi равно a и называется действительным. Если a = 0 и b = 0 одновременно, то комплексное число 0 + 0i равно нулю. Итак, мы получили, что действительные числа и чисто мнимые числа представляют собой частные случаи комплексного числа.
Запись комплексного числа в виде a + bi называется алгебраической формой комплексного числа.
Два комплексных числа a + bi и c + di условились считать равными тогда и только тогда, когда в отдельности равны их действительные части и коэффициенты при мнимой единице, т. е. a + bi = c + di, если a = c и b = d.
Действия над комплексными числами в алгебраической форме
Сложение, вычитание, умножение комплексных чисел в алгебраической форме производят по правилам соответствующих действий над многочленами.
Даны комплексные числа z1 = 2 + 3i, z2 = 5 – 7i. Найти:
а) z1 + z2; б) z1 – z2; в) z1z2.
Решение.
а) z1 + z2 = (2 + 3i) + (5 – 7i) = 2 + 3i + 5 – 7i = (2 + 5) + (3i – 7i) = 7 – 4i;
б) z1 – z2 = (2 + 3i) – (5 – 7i) = 2 + 3i – 5 + 7i = (2 – 5) + (3i + 7i) = – 3 + 10i;
в) z1z2 = (2 + 3i)(5 – 7i) = 10 – 17i + 15i – 21i2 = 10 – 14i + 15i + 21 = (10 + 21) + (– 14i + 15i) = 31 + i
(здесь учтено, что i2 = – 1).
Замечание. При выполнении умножения можно использовать формулы:
(ab)2 = a2 2ab + b2,
(a b)3 = a3 3a2b + 3ab b3.
Два комплексных числа называются сопряженными, если они отличаются друг от друга только знаками перед мнимой частью.
Геометрическая интерпретация комплексного числа
Комплексное число z = a + bi можно изобразить точкой Z плоскости с координатами (a; b). Для этого выберем на плоскости декартову прямоугольную систему координат. Действительные числа изображаются точками оси абсцисс, которую называют действительной (или вещественной) осью; чисто мнимые числа – точками оси ординат, которую будем называть мнимой осью.
Каждой точке плоскости с координатами (a; b) соответствует один и только один вектор с началом O(0; 0) и концом Z(a; b). Поэтому комплексное число z = a + bi можно изобразить в виде вектора с началом в точке O(0; 0) и концом в точке Z(a; b).
Предыдущая | Главная | Глава 3 | Следующая
Тема: Д. Родарі «Листівки з видами міст…». Широта світу та його
сприйняття ліричним героєм вірша.
Мета :
· Зацікавити життєвим та творчим шляхом Д. Родарі,
· навчити учнів осмислено аналізувати поетичний твір,
· активізуючи всі якості культурного читача;
· розвивати навички дослідницької та самостійної роботи, навички усного мовлення, логічного мислення, уміння будувати аргументоване власне висловлювання,
· розвивати навички виразного читання поезії, вміння висловлювати враження від прочитаного, характеризувати образ ліричного героя;
· виховувати любов до художнього слова, формувати загальнолюдські якості: доброту, щирість, співчуття, небайдуже ставлення до життя.
Обладнання: портрет письменника, комп’ютерні презентації до уроку
«Визначними місцями Італії», «Творчість Д. Родарі», виставка книг Д. Родарі, словник до уроку: Гавань – захищене від вітру місце, куди заходять кораблі. Гондоли – човни. Гулі – ігри. Синьйори – звертання до чоловіків. Глянець – блискуча поверхня.
Епіграф уроку: «Художні твори – як давні, так і сучасні – виховують розум, розвивають уяву й дарують дітям ключі від таємниць»
Д. Родарі
Хід уроку
І. Організаційний момент
ІІ. Мотивація навчальної діяльності
Слово учителя.
Подорож… Хто ж не любить подорожувати? Мабуть, таких людей немає. Сьогодні я вам пропоную мандрівку до прекрасної країни Італії, батьківщини відомого дитячого письменника та поета Дж. Родарі. За свої чудові твори для дітей він був удостоєний найвищої нагороди в галузі дитячої літератури – медалі .
Хто ж він цей славетний Д. Родарі? Про що писав? До чого прагнув?
На ці питання ми і спробуємо дати відповідь під час нашої подорожі.
IІІ. Сприйняття та засвоєння учнями навчального матеріалу
1. Презентація «Визначними місцями Італії»
2. Відеопрезентація про життєвий і творчий шлях Д. Родарі або презентація «Творчість Д. Родарі»
3. Бесіда
- Яким ви уявили собі Д. Родарі?
256 - 160 = 96 девочек