Question

На множестве задано бинарное отношение

Answer 1

а) Таблица отношения (никогда таким не занимался, думаю, она должна выглядеть примерно так):

  1 | 2 | 3 | 4

1  * |    |    |  *

2   | *  |  * |

3   | *  |  * |

4 * |    |    |  *

Область определения — X = {1, 2, 3, 4}. Область значений — Y = {1, 2, 3, 4}.

б) Отношение рефлексивно, т. к. $\forall x\in B (xPx)$: есть пары (1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4).

Отношение не антирефлексивно, т. к. $\exists x\in B (xPx)$

Отношение симметрично, т. к. $\forall x, y\in B (xPy\Rightarrow yPx)$: (1; 4) — (4; 1), (2; 3) — (3; 2) + все пары вида (x; x).

Отношение не антисимметрично, т. к. $\exists x, y\in B (xPy\wedge yPx \Rightarrow x\neq y)$: (2; 3) и (3; 2).

Отношение транзитивно, т. к. $\forall x,y,z\in B (xPy\wedge yPz\Rightarrow xPz)$: (1; 1), (1; 4) — (1; 4); (1; 4), (4; 4) — (1; 4); (1; 4), (4; 1) — (1; 1); (4; 1), (1; 4) — (4; 4). Аналогично с 2 и 3.

в) P является отношением эквивалентности, т. к. рефлексивно, симметрично, транзитивно. P не является отношением порядка, так как не антисимметрично.

Отношение не является функцией, т. к. $\exists x, y_1, y_2\in B(xPy_1\wedge xPy_2, y_1\neq y_2)$, например, (1; 1), (1; 4).