Question

Решите систему уравнений методом Крамера: x1+4x2-3x3=4 , 3x 1-3x 2+2x 3=4 , 3x1-5x2-4x3=-2

Answer 1

(2; 2; 2)

Пошаговое объяснение:

$\begin{cases} x_1+4x_2-3x_3=4 \\ 3x_1-3x_2+2x_3=4 \\ 3x_1-5x_2-4x_3=-12 \end{cases}$

Запишем систему в матричном виде:

$\begin{pmatrix} 1&4&-3\\ 3&-3&2\\3&-5&-4\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4\\4\\-12\end{pmatrix}$

Вычислим определитель основной матрицы системы:

$\Delta=\begin{vmatrix} 1&4&-3\\3&-3&2\\3&-5&-4\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1&4&-3\\0&-15&11\\3&-5&-4\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1&4&-3\\0&-15&11\\0&-17&5\\\end{vmatrix}=\\\begin{vmatrix} -15&11\\-17&5\end{vmatrix}=-15*5-(-17)*11=-75+187=112$

Для нахождения x_1 заменим первый столбец на столбец свободных членов и вычислим полученный определитель:

$\Delta_1= \begin{vmatrix} 4&4&-3\\4&-3&2\\-12&-5&-4\end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 4&4&-3\\0&-7&5\\-12&-5&-4\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 4&4&-3\\0&-7&5\\0&7&-13\end{vmatrix}=4\begin{vmatrix} -7&5\\7&-13\end{vmatrix}=\\28\begin{vmatrix} -1&5\\1&-13\end{vmatrix}=28*(-1*(-13)-1*5)=28*(13-5)=224$

Отсюда

$x_1=\frac{\Delta_1}{\Delta} =\frac{224}{112}=2$

Для нахождения x_2 заменим второй столбец на столбец свободных членов и вычислим полученный определитель:

$\Delta_2=\begin{vmatrix} 1&4&-3\\3&4&2\\3&-12&-4\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1&4&-3\\0&-8&11\\3&-12&-4\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1&4&-3\\0&-8&11\\0&-24&5\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} -8&11\\-24&5\end{vmatrix}=\\-8\begin{vmatrix} 1&11\\3&5\end{vmatrix}=-8*(1*5-3*11)=-8*(5-33)=224$

Отсюда

$x_2=\frac{\Delta_2}{\Delta} =\frac{224}{112}=2$

Для нахождения x_3 заменим третий столбец на столбец свободных членов и вычислим полученный определитель:

$\Delta_3=\begin{vmatrix} 1&4&4\\3&-3&4\\3&-5&-12\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1&4&4\\0&-15&-8\\3&-5&-12\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1&4&4\\0&-15&-8\\0&-17&-24\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} -15&-8\\-17&-24\end{vmatrix}=\\8\begin{vmatrix} 15&1\\17&3\end{vmatrix}=8*(15*3-17*1)=8*(45-17)=224$

Отсюда

$x_3=\frac{\Delta_3}{\Delta} =\frac{224}{112}=2$