Question

Задача по высшей математике нужно полностью решить и показать решение народ">

Answer 1

$2)\ \ \sum\limits _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}\dfrac{(x+5)^{n}}{n+2^{n}}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ |a_{n}|=\dfrac{1}{n+2^{n}}\\\\\\R=\lim\limits_{n \to \infty}\Big|\dfrac{a_{n}}{a_{n+1}}\Big|=\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{n+1+2\cdot 2^{n}}{n+2^{n}}=\Big[\ Lopital\ \Big]=\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{1+2\cdot 2^{n}\, ln2}{1+2^{n}\, ln2}=\\\\\\=\Big[\ Lopital\ \Big]=\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{2\cdot 2^{n}\, ln^22}{2^{n}\, ln^22}=2$

$3)\ \ y=2-x\ ,\ y=x\ ,\ x\geq 0\\\\\displaystyle \iint \limits _{D}x^2y\, dx\, dy=\int \limits _0^1\, x^2\, dx\int\limits^{2-x}_{x}\, y\, dy=\int\limits^1_0\, x^2\, dx\, \Big(\frac{y^2}{2}\Big|_{x}^{2-x}\Big)=\\\\\\=\frac{1}{2}\int \limits _0^1\, x^2\, \Big((2-x)^2-x^2\Big)\, dx=\frac{1}{2}\int \limits _0^1\, x^2\, (4-4x)\, dx=\frac{4}{2}\int \limits _0^1\, (x^2-x^3)\, dx=\\\\\\=2\, \Big(\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\Big)\Big|_0^1=2\, \Big(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\Big)=2\cdot \frac{1}{12}=\frac{1}{6}$

$4)\ \ (9+x^2)\, dy+5\, y\, dx=0\ \ \ \to \ \ \ (9+x^2)\, dy=-5\, y\, dx\ \ ,\\\\\\\displaystyle \int \frac{dy}{y}=-5\int \frac{dx}{9+x^2}\\\\\\ln|y|=-5\cdot \frac{1}{3}\, arctg\frac{x}{3}+C\ \ ,\ \ \ ln|y|=-\frac{5}{3}\, arctg\frac{x}{3}+C$

$5)\ \ V:\{\ -1\leq x\leq 3\ ,\ 0\leq y\leq 2\ ,\ -2\leq z\leq 5\ \}\\\\\\\displaystyle \iiint \limits _{V}x^2y^2z\, dx\, dy\, dz=\int\limits^3_{-1}\, x^2\, dx\int\limits^2_0\, y^2\, dy\int\limits^5_{-2} \, z\, dz=\\\\\\=\int\limits^3_{-1}\, x^2\, dx\int\limits^2_0\, y^2\, dy\Big(\frac{z^2}{2}\Big|_{-2}^5\Big)=\int\limits^3_{-1}\, x^2\, dx\int\limits^2_0\, y^2\, dy\Big(\frac{25}{2}-2\Big)=$

$\displaystyle =10,5\int\limits^3_{-1}\, x^2\, dx\int\limits^2_0\, y^2\, dy=10,5\int\limits^3_{-1}\, x^2\, dx\Big(\frac{y^3}{3}\Big|_0^2\Big)=10,5\cdot \frac{8}{3}\int\limits^3_{-1}\, x^2\, dx=\\\\\\=\frac{84}{3}\cdot \frac{x^3}{3}\Big|_{-1}^3=\frac{84}{9}\cdot \Big(3^3-(-1)^3\Big)=\frac{84}{9}\cdot (27+1)=\frac{84\cdot 28}{9}=\frac{2352}{9}=261\frac{1}{3}$