Question

Найдите наименьшее значение функции y=x^3+6x^2-36x+7 на отрезке [-3;3]

Answer 1

Минимальное значение функции на отрезке [-3;3] это -33

Пошаговое объяснение:

Найдем производную функции:

$f'(x)=(x^3+6x^2-36x+7)'=3x^2+12x-36$

Найдем нули производной:

$f'(x)=0\ \\\\\ 3x^2+12x-36=0 \\\\x^2+4x-12=0$

По Виету находим легко корни:

$x_{1}=2, \ \ x_{2}=-6$

Иследуем функцию на монотонность на промежутках:

$1) (-\infty;-6 ) \ \ f'(x)0 \\\\2) (-6;2) \ \ f'(x)$

На промежутке (-6;2) функция спадает, значит наименшее значения она достигает при х = 2. По этому:

$f_{min}(x)=f(2)=2^3+6\cdot 2^2-36\cdot 2+7=8+24-72+7=-33$