Question

Общее решение линейного дифференциального уравнения y''-10*y'+25*y=0 имеет вид​

Answer 1

$y''-10y'+25y=0\\\\k^2-10k+25=0\ \ \to \ \ \ (k-5)^2=0\ \ ,\ \ \ k_{1,2}=5\\\\y_{obshee}=e^{5x}\cdot (\, C_1+C_2x\, )$

Answer 2

Поскольку автор задания помещает задачу, которая решается строго по теории, делаю вывод, что он эту теорию не знает. Угадываем $y=e^{5x}.$ Ну хорошо, не умеем угадывать, характеристическое  уравнение не знаем. Выведем его. Ищем решение в виде $y=e^{kx};$ задача подобрать подходящее значение k. $y'=ke^{kx};\ y''=k^2e^{kx};$ подставляем в уравнение и сокращаем на $e^{kx}\not= 0:$

k²-10k+25=0; k=5. К сожалению, подходит только одно значение k, но нам и его хватит. Делаем замену$y=e^{5x}z;$ z - новая неизвестная функция.

$y' =5e^{5x}z+e^{5x}z';\ y''=25e^{5x}z+10e^{5x}z'+e^{5x}z'';$ подставляем в уравнение:

$25e^{5x}z+10e^{5x}z'+e^{5x}z''-50e^{5x}z-10e^{5x}z'+25e^{5x}z=0;\ e^{5x}z''=0;$

$z''=0; z'=C_1;\ z=C_1x+C_2; y=C_1xe^{5x}+C_2e^{5x}.$

ответ: $y=C_1xe^{5x}+C_2e^{5x}$