Question

Задание из ЕГЭ
Найдете все значения а, при каждом из которых уравнение имеет один корень

Answer 1

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

$ax+\sqrt{5-4x-x^2}=3a+3\\\sqrt{5-4x-x^2}=a(3-x)+3$

Слева видим функцию без параметра, а справа параметрическая прямая, вращающаяся вокруг точки $(3;\; 3)$. В таких случаях удобно строить отдельно левую (фиксированную) часть уравнения и правую (параметрическую) в координатах $(x;\;y)$.

Для наглядности можно записать так:

$\left\{\begin{array}{c}y=\sqrt{5-4x-x^2}\\y=a(3-x)+3\end{array}\right;$

Понятно, что в первой строке системы у нас график полуокружности, достигающий $y=0$ при $x=-5$ или $x=1$.

После его построения будем вращать прямую вокруг точки $(3;\; 3)$ и искать удовлетворяющие условию расположения.

(см. прикрепленный файл)

В первом случае прямая касается полуокружности в ее верхней точке, так как наибольшее значение будет  $\dfrac{4}{-2}=-2,\;=\sqrt{5+8-4}=3$. В этом случае $a=0$.

Во втором случае прямая проходит через точки $(-5;\;0)$ и $(1;\;0)$.

Найдем соответствующие значения параметра:

$0=a(3+5)+3,\;=\;a=-\dfrac{3}{8}\\\\0=a(3-1)+3,\;=\;a=-\dfrac{3}{2}$

Теперь осталось только сформировать ответ:

При $a\in\left[-\dfrac{3}{2};\;-\dfrac{3}{8}\right)\cup\left\{0\right\}$ исходное уравнение имеет ровно один корень.

Задание выполнено!