Question

Найти наибольшее значение параметра а, при котором неравенство f(x) < или равно 0 справедливо для любого действительного числа x, если

Answer 1

17

Пошаговое объяснение:

Так как правая часть представляет собой результат вычитания, связанный только с функцией f(x) (причём f(x) взята два раза, а f(-x) — только один), никаких элементарных функций, как 2ˣ, ㏒₂x, синус и т. д., кроме представленных в левой части, появиться не могло. Значит, f(x) имеет вид $f(x)=A|x+a-5|+B|x-a+5|+Cx+D$.

$2f(x)-f(-x)=2A|x+a-5|+2B|x-a+5|+2Cx+2D-\\-A|-x+a-5|-B|-x-a+5|-C\cdot (-x)-D=2A|x+a-5|+\\+2B|x-a+5|+2Cx+2D-A|x-a+5|-B|x+a-5|+Cx-D=\\=(2A-B)|x+a-5|+(2B-A)|x-a+5|+3Cx+D=\\=11|x+a-5|-19|x-a+5|+21x-8a+28$

Коэффициенты соответственно равны, следовательно:

$\begin{equation*}\begin{cases}2A-B=11,\\2B-A=-19,\\3C=21,\\D=-8a+28\end{cases}\end{equation*}$$\begin{equation*}\begin{cases}2A-B=11,\\4B-2A=-38,\\C=7,\\D=-8a+28\end{cases}\end{equation*}$$\begin{equation*}\begin{cases}2A-B=11,\\3B=-27,\\C=7,\\D=-8a+28\end{cases}\end{equation*}$$\begin{equation*}\begin{cases}A=1,\\B=-9,\\C=7,\\D=-8a+28\end{cases}\end{equation*}$

Таким образом, функция равна

$f(x)=|x+a-5|-9|x-a+5|+7x-8a+28$

График такой функции — ломаная, поскольку при разном раскрытии модулей изменяется коэффициент перед x и свободный член (функция также непрерывная, поскольку при нулевых значениях модуля значения равны как при одном раскрытии, так и при другом).

Заметим, что при x < a - 5 минимальное значение коэффициента перед x равно -1 + 9 + 7 = -1 (первый модуль раскрыли с минусом для достижения минимальности, второй — с минусом по неравенству), то есть функция на данном промежутке возрастает. При x > a - 5 максимальное значение коэффициента перед x равно 1 - 9 + 7 = -1 (первый модуль — с плюсом, второй — с плюсом по аналогичным причинам), то есть функция убывает. Значит, x = a - 5 — точка максимума функции. Если в ней значение функции не больше 0, то при любом другом x значение функции не превышает 0. Значит, достаточно решить неравенство $f(a-5)\leq 0$:

$|a-5+a-5|-9|a-5-a+5|+7(a-5)-8a+28\leq 0\\2|a-5|-a-7\leq 0$

Если a ≥ 5:

$2(a-5)-a-7\leq 0\\a\leq 17$

Учитывая ограничение, 5 ≤ a ≤ 17.

Если a < 5:

$2(5-a)-a-7\leq 0\\-3a+3\leq 0\\a\geq 1$

Учитывая ограничение, 1 ≤ a < 5.

Таким образом, 1 ≤ a ≤ 17. Максимальное значение параметра равно 17.