Question

решить тригонометрические уравнения.

Answer 1

$1)\ \ cos^2x-\dfrac{1}{2}\, sin2x+cosx=sinx\\\\cos^2x-\dfrac{1}{2}\cdot 2sinx\cdot cosx+cosx-sinx=0\\\\cosx\cdot (cosx-sinx)+(cosx-sinx)=0\\\\(cosx-sinx)(cosx+1)=0\\\\a)\ \ cosx-sinx=0\ |:cosx\ne 0\\\\1-tgx=0\ \ ,\ \ tgx=1\ \ ,\ \ \ x=\dfrac{\pi}{4}+\pi n\ ,\ n\in Z\\\\b)\ \ cosx=-1\ \ ,\ \ x=\pi +2\pi k\ ,\ k\in Z\\\\Otvet:\ \ x_1=\dfrac{\pi}{4}+\pi n\ ,\ n\in Z\ ,\ \ x_2=\pi +2\pi k\ ,\ \ n,k\in Z\ .$

$2)\ \ 2sin^2\Big(\dfrac{3\pi }{2}+x\Big)=\sqrt3\, cosx\\\\2\, cos^2x=\sqrt3\, cosx\\\\cosx\cdot (2cosx-\sqrt3)=0\\\\a)\ \ cosx=0\ \ ,\ \ \ x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n\ ,\ n\in Z\\\\b)\ \ cosx=\dfrac{\sqrt3}{2}\ \ ,\ \ \ x=\pm \dfrac{\pi}{6}+2\pi k\ ,\ k\in Z\\\\\\Otvet:\ \ x_1=\dfrac{\pi}{2}+\pi n\ ,\ x_2=\pm \dfrac{\pi}{6}+2\pi k\ ,\ \ \ n,k\in Z\ .$

$\star \ \ sin\Big(\dfrac{3\pi }{2}+x\Big)=-cosx\ \ ,\ \ \ (-cosx)^2=cos^2x\ \ \star$

$3)\ \ cos2x-\sqrt2\, cos\Big(\dfrac{3\pi}{2}+x\Big)-1=0\\\\cos^2x-sin^2x-\sqrt2\, sinx-1=0\\\\(1-sin^2x)-sin^2x-\sqrt2\, sinx-1=0\\\\-2sin^2x-\sqrt2\, sinx=0\\\\-\sqrt2\, sinx\cdot (\sqrt2\, sinx+1)=0\\\\a)\ \ sinx=0\ \ ,\ \ x=\pi n\ ,\ n\in Z\\\\b)\ \ sinx=-\dfrac{1}{\sqrt2}\ \ ,\ \ \ sinx=-\dfrac{\sqrt2}{2}\ \ ,\ \ x=(-1)^{k}\cdot \Big(-\dfrac{\pi}{4}\Big)+\pi k\ ,\ k\in Z\ ,\\\\x=(-1)^{k+1}\cdot \dfrac{\pi }{4}+\pi k\ ,\ k\in Z$

$Otvet:\ \ x_1=\pi n\ ,\ \ x_2=(-1)^{k+1}\cdot \dfrac{\pi }{4}+\pi k\ ,\ \ n,k\in Z\ .$

Answer 2

для первого

Переносим sinx влево:

cos2x – (1/2)·2·sinx·cosx + cosx – sinx=0

Раскладываем на множители группировки:

cosx·(cosx–sinx)+(cosx–sinx)=0

(c0sx–sinx)·(cosx+1)=0

cosx–sinx=0 или cosx+1=0

tgx=1 или cosx=–1

x= (π/4)+πk, k∈Z или x= π+2πn, n∈Z

О т в е т. (π/4)+πk, π+2πn, k,n∈Z