Question

При каких значениях параметр b площадь фигуры заданной системы неравенств равна 8п

Answer 1

$b=-5;7$

Пошаговое объяснение:

Для начала рассмотри первое неравенство системы, оно похоже на функцию окружности. Преобразуем это неравенство и посмотрим:

$x^{2} +y^{2}-2bx\leq 16-b^{2}; x^{2} -2bx+y^{2}\leq 16-b^{2}$ в выражении $x^{2} -2bx$ выделим полный квадрат:

$x^{2}-2bx+b^{2}-b^{2}+y^{2} \leq 16-b^{2}; (x-b)^{2}-b^{2}+y^{2}\leq16-b^{2}$

$(x-b)^{2}+y^{2}\leq 16$ Действительно, получили функцию окружности с радиусом 4 и перемещенную вдоль оси абсцисс на $b$ единиц. Знак неравенства  $\leq 16$ означает что решение лежит "внутри" окружности.

Теперь рассмотрим второе неравенство системы, попробуем его преобразовать:

$(x+y-1)^{2} \leq 36; (x+y-1)^{2}-6^{2}\leq0; (x+y-1-6)(x+y-1+6)\leq 0;$

$(x+y-7)(x+y+5)\leq 0$ сделаем замену: $t=x+y$, тогда можем записать так: $(t-7)(t+5)\leq 0$ отсюда получаем $\left \{ {{t\leq 7} \atop {t\geq -5}} \right.$ делаем обратную замену:$\left \{ {{x+y\leq 7} \atop {x+y\geq -5}} \right.$ в данной системе неравенств выражаем переменную y:$\left \{ {{y\leq -x+7} \atop {y\geq -x-5}} \right.$

Из этой системы неравенств можем записать двойное неравенство:

$-x-5\leq y\leq -x+7$; отсюда делаем вывод что графиком неравенства является две прямые, а именно  $-x-5; -x+7$ в первом случае будет график прямой с штриховкой выше данной прямой.

Во втором случаем $-x+7\geq y$ будет график прямой с штриховкой ниже данной прямой. Из всего выше сказанного про второе неравенство системы делаем вывод что графиком данного неравенства будут две прямые $y=-x+7и y=-x-5$ с штриховкой между этими прямыми. Изобразим данный график(изображение графика на рисунке ниже).

Теперь разберемся с первым неравенством системы: Поскольку это окружность радиуса 4, то ее площадь будет равна $S=\pi 4^{2}=16\pi$. Данная окружность лежит внутри прямых, где при различных значениях b мы ее можем передвигать вдоль оси абсцисс, тем самым меняя ее площадь. Необходимо указать те значения параметра b при которых площадь будет равна $8\pi$, т.е половина окружности. Отсюда становится понятно что ее площадь будет равна $8\pi$(т.е половине) в той точке, где прямая отсечет от нее половину.

В случае с прямой $y=-x-5$, то значение параметра $b=-5$, тогда окружность становится на точку -5 по оси абсцисс, где прямая $y=-x-5$ пересекает данную окружность в двух точках, и проходит через центр (точка -5), тогда данная прямая является диаметром окружности, соответственно делит окружность на две равные части, площадь которых $8\pi$, значит $b=-5$ решение(на рисунке ниже показана окружность при b=-5 и прямые которые отсекают нужную площадь)

В случае с прямой В случае с прямой $y=-x+7$, то значение параметра $b=7$, тогда окружность становится на точку 7 по оси абсцисс, где прямая $y=-x+7$ пересекает данную окружность в двух точках, и проходит через центр (точка 7), тогда данная прямая является диаметром окружности, соответственно делит окружность на две равные части, площадь которых $8\pi$, значит $b=7$ решение(на рисунке ниже показана окружность при b=7 и прямые которые отсекают нужную площадь)

Получаем $\boxed{b=-5;7}$