Question

Как зная радиусы всех вневписанных окружностей треугольника найти его площадь? вполне понятно как найти радиус, но моя формула для площади получилась слишком громоздкой. Расскажите как вывести нормальную - S = √R,Ra,Rb,Rc.

мои жалкие потуги в фото

Answer 1

Как я понимаю, формула

$\frac{1}{r}=\frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_b}+\frac{1}{r_c}$

автору задания известна.

Дальше все просто:

$S=(p-a)r_a=(p-b)r_b=(p-c)r_c\Rightarrow S^3=(p-a)(p-b)(p-c)r_ar_br_c;$

кроме того по формуле Герона $S^2=p(p-a)(p-b)(p-c)\Rightarrow$

$Sp(p-a)(p-b)(p-c)=(p-a)(p-b)(p-c)r_ar_br_c;$

$pS=r_ar_br_c,$ но $p=\frac{S}{r}\Rightarrow S^2=rr_ar_br_c$