Question

D(M,AD)=d,(M,BC)=d(M,AC)=5, AC=9,BC=12,M∉ABC

Найдите: d(M,ABC).

За решение

Answer 1

ответ:   4 .

ΔАВС ,  d(М,АВ)=d(М,ВС)=d(М,АС)=5 ,   АС=9 ,  ВС=12 , М∉АВС ,  ∠С=90°

Найти d(M,ABC) .

 По теореме Пифагора:  АВ=√(АС²+²ВС²)=√(9²+12²)=√225=15 .

MN⊥AC ,  MT⊥BC ,  MK⊥AB  ⇒  d(М,АВ)=MK ,  d(М,ВС)=MT , d(М,АС)=MN .

MK=MT=MN=5 .

Так как расстояние от точки М до сторон треугольника одинаковое, то точка М проектируется на плоскость треугольника АВС в центр вписанной окружности О .   d(M,ABC)=MO .

MO⊥ABC , ON=OT=OK= r (радиусу вписанной окружности) .

∠MON=∠MOT=∠MOK=90° ,  ΔMNO=ΔMTO=ΔMNO (по катету и гипотенузе)  

$r=\dfrac{a+b-c}{2}=\dfrac{9+12-15}{2}=\dfrac{6}{2}=3$

По теореме Пифагора имеем:

$MO=\sqrt{ON^2-r^2} =\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$