Question

Пусть a ; b ; c ; d простые числа . Если a+b+c+d=2021 найдите минимальное возможное значение $\dfrac{abcd}{10}$

Answer 1

ответ: 6033

Пошаговое объяснение:

Из соображений четности, раз сумма четырех чисел нечетна, то хотя бы одно из них четно, а раз оно четное и простое, то оно равно 2.

Пусть d = 2, тогда получаем:

a+b+c = 2019

abcd/10 = abc/5

Предположим, что еще одно число четно и равно 2, но тогда сумма двух оставшихся опять нечетна, а значит есть еще одно число равно 2, но тогда последнее число: 2019 - 4 = 2015 - кратно 5 (не подходит ибо не простое)

Значит:  a,b,c>=3 (3 - наименьшее простое нечетное число)

Также заметим, что вариант a=b=3 невозможен, ибо 2019 делится на 3, а тогда с кратно 3, то есть не простое. Иначе говоря, минимальный вариант: a = 3; b = 5

Итак, имеем:

a+b+c = 2019, где a,b,c >=3

Первым шагом определим наименьшее значение такого выражения: (предполагая, что a,b,c различные нечетные числа в данном случае не обязательно простые). Если a=b=c достигается максимум abc, что нас не устраивает)

ab+c = Smin

Вычитая первое равенство получаем:

Smin - 2019 = ab - a - b

Smin = 2019 +ab - a - b = 2018 + (a-1)(b-1) >= 2018 + 2*4 = 2026

Достигается, когда: a = 3; b=5

То есть:  (ab +c) min = 2026, будет достигнуто, когда a=3; b = 5; c = 2011 соответственно.

Пусть: ab + c = t, при этом c>b>a, тогда найдем минимальное значение abc в зависимости от t:

ab + c = t

abc = Rmin

Rmin = c(t-c) = ct - c^2 - парабола c единственным максимумом : c = t/2, ,то есть до него функция возрастает, а после него убывает, иначе говоря, минимум будет достигнут либо когда с самое малое из возможных, либо когда с самое большое из возможных, но c>b>a, то есть abc минимально возможно, когда с максимальное из возможных, то есть как раз:   2019 - 3 - 5 = 2011

То есть, если  ab + c = t, то наименьшее значение abc равно:

min(abc) = 2011(t-2011)

А поскольку min(t) = 2026, то

min(abc) = 2011(2026 - 2011) = 2011 * 15 = 30165

Cогласуется с условием:  a=3; b = 5; c = 2011

Заметим, что с = 2011 как раз является простым, что удовлетворяет условию.

Откуда:

min(abc/5) = 30165/5 = 6033