Решите неравенство Log_(1 +1/(x+1)²) ( x²+3x +2)/(x²-3x+4) ≤ 0
ответ: x ∈ ( -∞ ; -2) ∪ (-1 ; 1/3] .
Пошаговое объяснение: x²-3x+4 =(x -3/2)² +7/4 > 0 || ≥7/4 ||
ОДЗ: { x²+3x +2 > 0 ; x+1 ≠0 . ⇔{ (x +2)(x+1) > 0 ; x ≠ - 1. ⇒
x ∈ ( - ∞ ; -2) ∪ (-1 ; ∞) .
1 +1/(x+1)² > 1 ;
Log_(1 +1/(x+1)²) ( x²+3x +2)/(x²-3x+4) ≤ 0 ⇔ 0 < ( x²+3x +2)/(x²-3x+4) ≤ 1 ⇔
0 < x²+3x +2 ≤ x²-3x+4 ⇔0 ⇔ { x²+3x +2>0 ; x²+3x +2 ≤ x²-3x+4.⇔
{ (x+2)(x+1)>0 ; x²+3x +2 ≤ x²-3x+4.⇔ { (x+2)(x+1)>0 ; x ≤ 1/3. ⇒
x ∈ ( -∞ ; -2) ∪ (-1 ; 1/3] .
log(1 + 1/(x + 1)²) (x² + 3x + 2)/(x² - 3x + 4) ≤ 0
одз
1 + 1/(x + 1)² > 0 x ∈ R
1 + 1/(x + 1)² ≠ 1 x ∈ R
(x + 1) ≠ 0 x ≠ -1
(x² + 3x + 2)/(x² - 3x + 4) > 0
x² + 3x + 2 = 0 D = 9 - 8 = 1 x12 = (-3 +- 1)/2 = -2 -1
x² - 3x + 4 = 0 D = 9 - 16 < 0 x∈ R
(x + 1)(x + 2) > 0
x∈ (-∞, -2) U (-1, +∞)
log(1 + 1/(x + 1)²) (x² + 3x + 2)/(x² - 3x + 4) ≤ log(1 + 1/(x + 1)²) 1
1 + 1/(x + 1)² > 1 всегда
(x² + 3x + 2)/(x² - 3x + 4) ≤ 1
(x² + 3x + 2)/(x² - 3x + 4) - 1 ≤ 0
(x² + 3x + 2 - (x² - 3x + 4)) ≤ 0
знаменатель отбрасываем (x² - 3x + 4) он всегда >0
(x² + 3x + 2 - x² + 3x - 4) ≤ 0
6x - 2 ≤ 0
x ≤ 1/3
x∈ (-∞, -2) U (-1, 1/3]