Ab + c(a+b) = 3c^2 3c^2 - (a+b)*c - ab = 0 Получили квадратное уравнение относительно с. По теореме Виета c1 + c2 = (a+b)/3 = (b+b+41)/3 = (2b+41)/3 c1*c2 = -ab/3 = -b(b+41)/3 Из 2 равенства получаем: или b делится на 3, или b+41 делится на 3. Если b делится на 3, то из 1 равенства получаем: 2b делится на 3, тогда 41 тоже делится на 3, но это не так. Значит, a = b+41 делится на 3. Пусть a = 3k Теперь, из 2 начального уравнения 3k*b + bc + 3k*c = 3c^2 bc = 3c^2 - 3k*b - 3k*c = 3*(c^2 - kb - kc) Так как b на 3 не делится, то c на 3 делится.
1) Запишем 2 уравнение в общем виде. b(b+41) + c*b + c(b+41) = 3c^2 b^2 + 41b + cb + cb + 41c - 3c^2 = 0 b^2 + (2c+41)b + (41c-3c^2) = 0 2c+41 > 0 при любом натуральном с. Ясно, что положительные корни появятся тогда, когда будет 41c - 3c^2 < 0, то есть 3c > 41. И при этом с делится на 3. 2) Возьмем 3c = 45, c = 15 b(b+41) + 15b + 15(b+41) = 3*15^2 b^2 + 41b + 15b + 15b + 615 - 675 = 0 b^2 + 71b - 60 = 0 D = 71^2 - 4(-60) = 5041 + 240 = 5281 - не квадрат, b не натуральное. ... 11) c=42. b(b+41) + 42b + 42(b+41) = 3*42^2 b^2 + 41b + 42b + 42b + 1722 - 5292 = 0 b^2 + 125b - 3570 = 0 D = 125^2+4*3570 = 15625+14280 = 29905 - не квадрат. 12) c=45. b(b+41) + 45b + 45(b+41) = 3*45^2 b^2 + 41b + 45b + 45b + 1845 - 6075 = 0 b^2 + 131b - 4230 = 0 D = 131^2+4*4230 = 17161+16920 = 34081 - не квадрат.
Мне тут Dimond228 подсказал, что при с = 210 получится b(b+41) + 210b + 210(b+41) = 3*210^2 b^2 + 41b + 210b + 210b + 8610 - 132300 = 0 b^2 + 461b - 123690 = 0 D = 461^2 + 4*123690 = 212521 + 494760 = 707281 = 841^2 b = (-461 + 841)/2 = 190 a = b + 41 = 190 + 41 = 231 ответ: a = 231; b = 190; c = 210
Квадрат нашего числа можно записать в виде N² = 100k+9, где k - натуральное. Нам нужно доказать, что последняя цифра в числе k - четная, то есть k - четное число. Преобразуем
Числа N-3 и N+3 имеют одинаковые остатки при делении на 6. Рассматривая возможные остатки от деления на 6 (0...5) и пользуясь тем, что произведение (N-3)(N+3) будет иметь тот же остаток, что и квадрат остатка сомножителей, мы получим возможные варианты Остаток --- остаток квадрата остатка 0 --- 0 1 --- 1 2 --- 4 3 --- 3 4 --- 4 5 --- 1
Число 100k может давать следующие остатки при делении на 6. k --- Остаток 1 --- 4 2 --- 2 3 --- 0 4 --- 4 5 --- 2 6 --- 0 и так далее
Сопоставляя две таблицы, мы понимаем, что k = 1, 4, 7..., то есть k=3m+1, где m - натуральное (100*0+9 = 109 - не квадрат). Нам осталось доказать, что m не может быть четным.
Итак
Число N^2 может иметь следующие остатки при делении на 8 0, 1, 4, 1, 0, 1, 4, 1 и так далее
Число 109 дает 5 в остатке при делении на 8, число 300 - дает 4 Значит остатки от деления 300m+109 на 8 будут такие (m = 1, 2, 3...) 1, 5, 1, 5, 1 и так далее
Остаток 5 невозможен (см остатки N^2 при делении на 8), значит отсюда мы понимаем, что m обязано быть нечетным (тогда остаток будет 1).
Значит m - нечетно, 3m+1 = k - четно, и третья справа цифра тоже четна.
