Дан треугольник АВС с вершинами А(4; 6; 5), В( 6; 9; 4), С( 2; 10; 10). а) С скалярного произведения найдите угол ∠BCA. б) С векторного произведения найдите площадь этого треугольника.
Поверхность, покрытая защитным материалом (например, газетами) Воздушный шар средних размеров (около 30 см диаметром) Крышка от пластиковой бутылки Водостойкий маркер (лучше всего средней толщины) Ножницы 6 кнопок Картон (20×25 см); он должен быть плотный, или используй два листа картона, скрепленные вместе; в него предстоит втыкать кнопки Два можешь попробовать справиться сам, но тебе не помешает)
Подготовка
Планетой нам послужит воздушный шар. Надуй его примерно наполовину и завяжи. Верхняя часть шара и узелок снизу – Северный и Южный полюса нашей планеты соответственно. Ты можешь отметить Северный полюс буквой «N» (англ. North – север), а Южный – буквой «S» (англ. South – юг) с маркера. Нарисуй экватор. Это воображаемая линия, разделяющая планету пополам. Он находится ровно посередине между полюсами. Примечание: работай на поверхности, защищенной газетами или другим материалом, так как водостойкий маркер может оставлять трудновыводимые пятна!
Нарисуй 4 линии долготы (меридианы), расположенные на равном расстоянии. Меридианы – воображаемые линии, опоясывающие всю планету, которые соединяют Южный и Северный полюса. Они перпендикулярны (под прямым углом) экватору. Наш шар похож на Землю? Чем? А в чем отличие?
Задача по комбинаторике, чтобы расчитать количество комбинаций (важно, что в задачах данного типа один и тот же элемент не может повторяться), нужно подставить данное значение в простую формулу. х=п! где н количетсво элементов, а х - количество комбинаций. Значит для вычисления количества вариантов составления поезда из 4х вагонов посчитаем факториал 4!=4*3*2*1=24. Однако, у нас в задаче указан один нюанс - условие. один конкретный вагон должен быть обязательно впереди другого конкретного, а это не сколько изменит решение и ответ. в Данной задаче можно поступить перебором вариантов, так как их у нас по уже выполненным оценкам меньше 24, что может бы ть подсчитано перебором.
Итак. 1. Если представить, красный-и-синий вагоны уже правильно скреплены, и мы можем смотреть на них как единый красно-синий вагон, получится количество комбинаций с 3мя вагонами, то есть 3!=6. Все эти варинты нам подходят. Также еще у ним нужно добавить варианты расположения при которых красный и синий вагоны не находятся в пямой связи, т.е. не стоят рядом.
К Ж С З Ж К З С
К Ж З С К З Ж С
К З С Ж З К Ж С
Получили еще 6 вариантов. Значит, всего будет 12 комбинаций.
1. Найдем координаты вектора СA:
СA = (4–2 ); 6-10;5-10 ) = (2; - 4; -5).
Найдем координаты вектора CB:
CB = (6 – 2; 9–10;4-10) = (4; -1; -6).
2
Скалярное произведение векторов СA и СB равно:
CA * CB = 2*4 + (-4*-1) + (-5*-6) = 8+4+30=42
Найдем длину вектора CA:
|CA| = √(2²+ (- 4)²+ (-5)² = √(4 +16+25) = √45.
Найдем длину вектора CB:
|CB| = √4²+ (-1)²+ (-6)²= √(16+1+36) = √53.
1. Таким образом, косинус угла между векторами CA и CB равен:
cos∠B = cos∠(CA, CB) = 42/(√45 * √53) = 42/(√9 * √5* √53) = 42/(3√265) = =14/√265
∠BCA = arccos14/√265.