Question

Найти интеграл: 7/x^8 dx-?
3dx/(8-7x)^4-?
4dx/ $\sqrt[4]{7x-8}$ -?
2sin8x dx- ?

Answer 1

Давайте разберем поочередно каждый из вопросов и найдем интегралы.

1. Найти интеграл: ∫(7/x^8)dx

Для решения данного интеграла мы можем воспользоваться правилом степенной функции интегрирования. Интеграл функции вида x^n (где n ≠ -1) выражается как (1/(n+1)) * x^(n+1) + C, где C - постоянная.

В данном случае, n = -8, поэтому интеграл будет равен:
∫(7/x^8)dx = 7/(-8+1) * x^(-8+1) + C = -(7/8) * x^(-7) + C

2. Найти интеграл: ∫(3dx/(8-7x)^4)

Для решения этого интеграла мы можем воспользоваться заменой переменной. Пусть u = 8-7x, тогда dx = (-1/7) du. Мы также можем заменить границы интегрирования.

Когда x = 0, u = 8-7(0) = 8.
Когда x = ∞, u = 8-7(∞) = -∞.

Теперь мы можем выразить интеграл в новых переменных:
∫(3dx/(8-7x)^4) = ∫(3*(-1/7)du/u^4)
= (-3/7) * ∫u^(-4) du.

Применим правило степенной функции интегрирования:
∫u^(-4) du = (-1/(-4+1)) * u^(-4+1) + C = (-1/3) * u^(-3) + C.

Теперь мы должны вернуться к исходным переменным:
∫(3dx/(8-7x)^4) = (-3/7) * (-1/3) * (8-7x)^(-3) + C = (1/7) * (8-7x)^(-3) + C.

3. Найти интеграл: ∫(4dx/∛(7x-8))

Для решения этого интеграла мы воспользуемся формулой интегрирования обратной функции. Если имеется функция f(x) и ее производная f'(x), то интеграл от 1/f'(f(x))dx будет равен ∫dx.

Давайте выберем u = 7x-8, тогда du = 7dx и dx = du/7. Также, ∛(7x-8) = u^(1/3).

Теперь мы можем выразить интеграл в новых переменных:
∫(4dx/∛(7x-8)) = ∫(4*(du/7)/u^(1/3))
= (4/7) * ∫u^(-1/3) du.

Применим формулу интегрирования обратной функции:
∫u^(-1/3) du = ∫u^(-1/3) * (u^(2/3))/(u^(2/3)) du
= ∫(u^(2/3))/(u^(1/3)) du = ∫u^(2/3-1/3) du = ∫u^(1/3) du.

Опять применим правило степенной функции интегрирования:
∫u^(1/3) du = (3/((1/3)+1)) * u^((1/3)+1) + C = 3u^(4/3) + C.

Теперь мы должны вернуться к исходным переменным:
∫(4dx/∛(7x-8)) = (4/7) * (3(7x-8)^(4/3)) + C = (12/7)(7x-8)^(4/3) + C.

4. Найти интеграл: ∫(2sin(8x) dx)

Для решения этого интеграла мы можем воспользоваться правилом интегрирования синуса. Int(sin(ax)) dx = -(1/a) * cos(ax) + C, где a - постоянная.

В данном случае, a = 8, поэтому интеграл будет равен:
∫(2sin(8x) dx) = -(2/8) * cos(8x) + C = -(1/4) * cos(8x) + C.

Таким образом, мы нашли интегралы для каждого из заданных выражений.