Question

Решите методом понижения степени. Cos4x/3+sin^2 3x/2+2sin^2 5x/4-cos^2 3 x/2=0 sin^4 x+cos^4 x-5/8=o

Answer 1

Добрый день! Давайте решим данный уравнение с помощью метода понижения степени.

1. Уравнение: Cos(4x)/3 + sin^2(3x)/2 + 2sin^2(5x)/4 - cos^2(3x)/2 = 0.

2. Начнем с понижения степени угловых функций. Воспользуемся следующими тригонометрическими тождествами:

- cos^2(x) = 1 - sin^2(x),
- sin^2(x) = 1 - cos^2(x).

3. Заменим cos^2(3x)/2 и sin^2(3x)/2 их эквивалентными выражениями:

Cos(4x)/3 + (1 - cos^2(3x)/2)/2 + 2sin^2(5x)/4 - (1 - sin^2(3x)/2)/2 = 0.

4. Распространим скобки и упростим уравнение:

Cos(4x)/3 + 1/2 - cos^2(3x)/4 + 2sin^2(5x)/4 - 1/2 + sin^2(3x)/4 = 0.
Cos(4x)/3 - cos^2(3x)/4 + 2sin^2(5x)/4 + sin^2(3x)/4 = 0.

5. Объединим дроби в одну:

(4Cos(4x) - 3cos^2(3x) + 8sin^2(5x) + 2sin^2(3x))/12 = 0.

6. Умножим обе части уравнения на 12, чтобы избавиться от дроби:

4Cos(4x) - 3cos^2(3x) + 8sin^2(5x) + 2sin^2(3x) = 0.

7. Распишем квадраты:

4Cos(4x) - 3cos^2(3x) + 8(1 - cos^2(5x)) + 2(1 - cos^2(3x)) = 0.

4Cos(4x) - 3cos^2(3x) + 8 - 8cos^2(5x) + 2 - 2cos^2(3x) = 0.

8. Упростим уравнение:

-3cos^2(3x) - 8cos^2(5x) - 5cos^2(3x) + 4Cos(4x) + 10 = 0.

-8cos^2(5x) - 8cos^2(3x) + 4Cos(4x) + 10 = 0.

9. Понижаем степень еще раз при помощи соответствующих тригонометрических тождеств:

(1 - cos(10x))/2 - (1 - cos(6x))/2 + 4Cos(4x)/2 + 10 = 0.

1/2 - 1/2cos(10x) + 1/2 + 1/2cos(6x) + 2Cos(4x) + 10 = 0.

10. Сократим подобные слагаемые:

cos(6x) + 2Cos(4x) - 1/2cos(10x) + 21/2 = 0.

11. Обобщим все косинусы в одно слагаемое:

cos(6x) + 2Cos(4x) - 1/2cos(10x) = -21/2.

Вот ответ на данный вопрос. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задать их.