Question

Спростіть вираз: 1) sin²2a+cos²2a+1/tg²5a;
2)(1+sin x/2)(1-sin x/2);
3)(tg A cos A)²+(sin A/tg A)²;
4)sin² A tg² A/tg² A+cos² A -1;
бистрей

Answer 1

1) Для упрощения данного выражения воспользуемся тригонометрическими тождествами:
- Тождество Пифагора: sin²θ + cos²θ = 1
- Тождество тангенса: 1 + tg²θ = sec²θ

В данном случае у нас угол 2a, поэтому заменим в выражении sin²2a + cos²2a на 1:
sin²2a + cos²2a = 1

Также, заменим 1/tg²5a на sec²5a:
1/tg²5a = sec²5a

Подставляем найденные значения обратно в исходное выражение:
1 + sec²5a

Таким образом, упрощенное выражение равно 1 + sec²5a.


2) Для упрощения данного выражения умножим два фактора с помощью формулы разности квадратов (a² - b² = (a+b)(a-b)):
(1+sin x/2)(1-sin x/2) = (1² - (sin x/2)²)

Упрощаем полученное выражение:
(1 - (sin x/2)²)

Таким образом, упрощенное выражение равно (1 - (sin x/2)²).


3) Для упрощения данного выражения воспользуемся тригонометрическим тождеством:
(sin θ / tg θ)² + (cos θ / tg θ)² = 1/tg²θ

В данном случае у нас угол A, поэтому заменим в выражении sin A/tg A и cos A/tg A на 1/tg A:
(sin A/tg A)² + (cos A/tg A)² = 1/tg²A

Также, заменим tg A на sin A/cos A:
(sin A/cos A)² + (cos A/sin A)²

Упрощаем полученное выражение:
(sin² A cos² A + cos² A) / sin² A = (1 + cos² A) / sin² A

Таким образом, упрощенное выражение равно (1 + cos² A) / sin² A.


4) Для упрощения данного выражения воспользуемся тригонометрическими тождествами:
- Тождество Пифагора: sin²θ + cos²θ = 1
- Тождество тангенса: 1 + tg²θ = sec²θ

В данном случае у нас угол A, поэтому заменим в выражении sin² A + cos² A на 1:
sin² A + cos² A = 1

Также, заменим tg² A на sec² A - 1 с помощью тождества тангенса:
tg² A = sec² A - 1

Подставляем найденные значения обратно в исходное выражение:
sin² A (sec² A - 1) / (sec² A - 1) + cos² A - 1

Упрощаем выражение:
sin² A + cos² A - 1

Таким образом, упрощенное выражение равно sin² A + cos² A - 1.