Question

Даны векторы. Найти: а) cos (a1 a2)
b) проекцию a1 на а2
c) a1 * a2
d) площадь треугольника, построенного на векторах а1, а2
e) объем пирамиды, построенной на векторах а1, a2, a3
a1 (10 3 1) a2 (1 4 2) a3 (3 9 2)

Answer 1

Даны вектора a1(10, 3, 1), a2(1, 4, 2) и a3(3, 9, 2).

a) Чтобы найти cos(a1 a2), мы можем использовать формулу скалярного произведения векторов:

cos(a1 a2) = (a1 * a2) / (|a1| * |a2|),

где "*" обозначает скалярное произведение векторов, "|a1|" и "|a2|" обозначают длины векторов.

Сначала найдем скалярное произведение a1 * a2:

a1 * a2 = 10*1 + 3*4 + 1*2 = 10 + 12 + 2 = 24.

Теперь найдем длины векторов a1 и a2:

|a1| = sqrt(10^2 + 3^2 + 1^2) = sqrt(100 + 9 + 1) = sqrt(110) ≈ 10.49,
|a2| = sqrt(1^2 + 4^2 + 2^2) = sqrt(1 + 16 + 4) = sqrt(21) ≈ 4.58.

Теперь можем вычислить cos(a1 a2):

cos(a1 a2) = 24 / (10.49 * 4.58) ≈ 0.545.

Ответ: а) cos(a1 a2) ≈ 0.545.

b) Чтобы найти проекцию вектора a1 на a2, мы можем использовать формулу:

проекция a1 на a2 = (a1 * a2) / |a2|

С использованием ранее найденных значений:

проекция a1 на a2 = 24 / 4.58 ≈ 5.24

Ответ: b) проекция a1 на a2 ≈ 5.24.

c) Чтобы найти векторное произведение a1 и a2, мы можем использовать следующую формулу:

a1 * a2 = (a1y * a2z - a1z * a2y)i - (a1x * a2z - a1z * a2x)j + (a1x * a2y - a1y * a2x)k,

где i, j и k - единичные векторы вдоль осей x, y и z соответственно.

Подставим значения векторов a1 и a2 и вычислим векторное произведение:

a1 * a2 = (3*2 - 1*4)i - (10*2 - 1*1)j + (10*4 - 3*1)k
= (6 - 4)i - (20 - 1)j + (40 - 3)k
= 2i - 19j + 37k.

Ответ: c) a1 * a2 = 2i - 19j + 37k.

d) Чтобы найти площадь треугольника, построенную на векторах a1 и a2, мы можем использовать формулу:

площадь треугольника = 1/2 * |a1 * a2|,

где |a1 * a2| - длина вектора, полученного в результате векторного произведения a1 и a2.

Используя значение вектора a1 * a2, найденного в пункте c):

|a1 * a2| = sqrt(2^2 + (-19)^2 + 37^2) = sqrt(4 + 361 + 1369) = sqrt(1734) ≈ 41.63.

Подставим это значение в формулу для площади треугольника:

площадь треугольника = 1/2 * 41.63 ≈ 20.82.

Ответ: d) площадь треугольника ≈ 20.82.

e) Чтобы найти объем пирамиды, построенной на векторах a1, a2 и a3, мы можем использовать формулу:

объем пирамиды = 1/6 * |a1 * (a2 x a3)|,

где a2 x a3 - векторное произведение векторов a2 и a3.

Чтобы найти объем, нам нужно сначала посчитать векторное произведение a2 и a3:

a2 x a3 = ((4*2)-(2*9))i - ((1*2)-(3*9))j + ((1*9)-(3*4))k
= (-2)i - (-25)j + (9)k
= -2i + 25j + 9k.

Теперь найдем произведение вектора a1 на вектор a2 x a3:

a1 * (a2 x a3) = 10*(-2) + 3*25 + 1*9
= -20 + 75 + 9
= 64.

Вычислим длину полученного вектора:

|a1 * (a2 x a3)| = sqrt(64^2) = 64.

Теперь можем найти объем пирамиды, используя найденные значения:

объем пирамиды = 1/6 * |a1 * (a2 x a3)| = 1/6 * 64 = 10.67.

Ответ: e) объем пирамиды ≈ 10.67.