По условию никакие три из диагоналей, кроме случая, когда все три диагонали странные не пересекаются в одной точке. Заметим, что каждой паре пересекающихся диагоналей можно поставить в соответствие четыре вершины 30-тиугольника с концами диагоналей в этих вершинах. И наоборот любые четыре вершины однозначно определяют пару пересекающихся диагоналей с концами в этих вершинах. Таким образом установлено взаимно однозначное соответствие между каждой парой пересекающихся диагоналей и четверкой вершин им соответствующих. Подсчитаем вначале сколько всего точек пересечения диагоналей будет в данном выпуклом 30-тиугольнике без учета того, что 10 из его диагоналей пересекаются в одной точке. Так как каждой паре пересекающихся диагоналей соответствует четверка вершин многоугольника, то общее количество точек пересечения диагоналей дается количеством сочетаний из 30-ти вершин по 4, то есть C⁴₃₀ = 30!/4!(30-4)! = 30!/4!26! = 30*29*28*27/24 = 657720/24 = 27405. Общее количество точек пересечения диагоналей равно 27405. Теперь учтем тот факт, что 10 диагоналей в данном 30-тиугольнике пересекаются в одной точке. Заметим также, что поскольку эти 10 диагоналей пересекаются в одной точке, то концы никаких двух из них не исходят из одной вершины. А это значит, что если бы они не пересекались в одной точке, то точек пересечения было бы больше на количество сочетаний из десяти по два C²₁₀ - 1. Вычитаем единицу, поскольку имеется одна общая точка пересечения. Подсчитаем C²₁₀ = 10!/2!(10-2)! = 10!/2!8! = 10*9/2 = 90/2 = 45, имеем на C²₁₀ - 1 = 45 - 1 = 44 точки пересечения меньше общего числа подсчитанного ранее. Тогда общее количество точек пересечения в таком многоугольнике будет равно C⁴₃₀ - (C²₁₀ - 1) = C⁴₃₀ - C²₁₀ + 1 = 27405 - 45 - 1 = 27405 - 44 = 27361.
ответ: Всего 27361 точка пересечения.
Вычислить площадь фигуры,ограниченной линиями: y₁=x+2 , y₂=2x - (x^2/2) + 6
или y = -0,5х² + 2x + 6 и y=x+2
для выявления пределов интегрирования найдём точки пересечения графиков этих двух функций, приравняв их правые части
-0,5х² + 2x + 6 = x + 2
-0,5х² + x + 4 = 0
или
-х² + 2х + 8 = 0
D = 4 + 32 = 36
√D = 6
x₁ = (-2 + 6):(-2) = -2
x₂ = (-2 - 6):(-2) = 4
Итак, интегрируем в пределах: -2 и 4.
Теперь надо решить, какая из функций проходит выше другой
найдём вершину параболы f(x) = -0.5х² + 2х + 6
m = -2:(-1) = 2; n = -2+ 4 + 6 = 8
в точке х = 2 прямая y=x+2 имеет у =4, а кривая y = -0.5х² + 2х + 6 имеет у = 8
в точке x₁ = -2 и в точке x₂ = 4 значения обеих функций совпадают.
Очевидно, что парабола в интервале от -2 до 4 проходит выше.
Находим интеграл
∫(у₂ - у₁)dx = ∫(-0.5х² + 2х + 6 - (x+2))dx =
= ∫(-0.5х² + х + 4)dx =
= -х³/6 + х²/2 + 4x
Подставим пределы и вычислим площадь
S = 8/6 + 4/2 - 4·2 - (-64/6 + 16/2 + 4·4) =
= 4/3 + 2 - 8 + 32/3 - 8 + 16 = 14
ответ: S = 14