Из подобия треугольников ADE и BCE следует x/b = (x + b)/a; что означает, что AC делит ED пропорционально AD и AE, то есть AC - биссектриса угла EAD. Далее, угол BCE = угол ADE, следовательно, оба треугольника BCE и ACD - равнобедренные, имеют равные углы при основании и равные основания, так как BC = CD. Таким образом, x = BE = EC = a; Итак, в равнобедренном треугольнике AED основание AD = биссектриса AC = отрезок от вершины до основания биссектрисы EC. Этот треугольник полезно запомнить - и сейчас станет ясно, почему. Если обозначить угол CAD = α; то теперь очевидно, что угол CDA = угол ACD = 2α; (AC - биссектриса угла А, и не надо забывать, что и трапеция равнобедренная). Угол BCA = α; поэтому угол BCD = 3α; и 5α = 180°; откуда α = 36°; углы трапеции равны 108° и 72°; это ответ :)
а теперь - почему так устроенный треугольник AED так важен. Поскольку x = a; то (a + b)/a = a/b; если обозначить b/a = y; то 1 + y = 1/y; или y^2 + y - 1 = 0; откуда y = (√5 - 1)/2; Отсюда получается cos(72°) = (a/2)/(a + b) = (1/2)/(1 + b/a) = 1/(2 + 2y) = 1/(√5 + 1) = (√5 - 1)/4; cos(72°) = (√5 - 1)/4; то есть получено выражение в радикалах для косинуса угла 72°; конечно же, cos(72°) = sin(18°); и это означает, что получены выражения в радикалах для всех углов, кратных 18° (ну, я их вычислять тут не буду, это и не важно).
Все гости съели хотя бы по 1 пирожку, значит они съели 15*1=15 пирожных. 22-15=7 пирожных осталось тем, кто съел по 2 и по 3 пирожных. Из условия как минимум 1 гость съел 3 пирожных, по 1 мы уже учли, а значит. 7-3+1=5 гостей могли съесть по 2 пирожных Если 2 гостя съели по 3 пирожных 7-2(3-1)=3 гостя съели по 2 пирожных Если 3 гостя съели по 3 пирожных: 7-3(3-1)=1 гость съел 2 пирожных Других вариантов нет, т.к. больше трех гостей не смогут съесть по 3 пирожных.
ответ 1 или 3 или 5 гостей могли съесть по 2 пирожных.
