Question

Вероятность того, что изделие высшего качества равна 0,5. Найти вероятность того, что из 400 изделий число изделий высшего качества составит от 194 до 208.

Answer 1

Для решения данной задачи, мы можем применить биномиальное распределение.

Биномиальное распределение используется в задачах, где есть два возможных исхода (в данном случае изделие высшего качества или не высшего качества). Вероятность успеха (в данном случае изделие высшего качества) обозначается как p и равна 0,5.

Для нахождения вероятности того, что число изделий высшего качества составит от 194 до 208, мы можем воспользоваться нормальной аппроксимацией биномиального распределения. Для этого мы используем формулу Смирнова-Колмогорова:

P(194 <= X <= 208) = P(Z <= (208 - np) / sqrt(np(1-p))) - P(Z <= (194 - np) / sqrt(np(1-p)))

Где:
- X - число изделий высшего качества
- Z - стандартная нормальная величина
- n - количество испытаний (в данном случае 400)
- p - вероятность успеха (в данном случае 0,5)

Для нахождения значения P(Z <= x), мы можем воспользоваться таблицей значений нормального распределения или использовать калькулятор с функцией поиска значения функции нормального распределения.

Чтобы продолжить решение, мы должны вычислить значения (208 - np) / sqrt(np(1-p)) и (194 - np) / sqrt(np(1-p)).

Для начала, давайте найдем значение np:
np = 400 * 0,5 = 200

Затем найдем значение sqrt(np(1-p)):
sqrt(np(1-p)) = sqrt(200 * (1 - 0,5)) = sqrt(200 * 0,5) = sqrt(100) = 10

Теперь можем продолжить нахождение значений (208 - np) / sqrt(np(1-p)) и (194 - np) / sqrt(np(1-p)):
(208 - np) / sqrt(np(1-p)) = (208 - 200) / 10 = 8 / 10 = 0,8
(194 - np) / sqrt(np(1-p)) = (194 - 200) / 10 = (-6) / 10 = -0,6

Теперь, используя таблицу значений нормального распределения или калькулятор, найдем значения функции нормального распределения для 0,8 и -0,6:

P(Z <= 0,8) = 0,7881
P(Z <= -0,6) = 0,2743

Теперь мы можем найти искомую вероятность, используя формулу Смирнова-Колмогорова:

P(194 <= X <= 208) = P(Z <= 0,8) - P(Z <= -0,6) = 0,7881 - 0,2743 = 0,5138

Таким образом, вероятность того, что из 400 изделий число изделий высшего качества составит от 194 до 208, равна 0,5138 или округленно примерно 51,38%.