Question

Дана окружность с центром О. На окружности отмечены точки P, Q, S таким образом, что угол PQS=60°. Найдите угол POS

Answer 1

Для решения данной задачи мы будем использовать свойства углов, образованных хордами и дугами окружности.

Обозначим центр окружности как О, а точки P, Q, S как показано на рисунке.

Известно, что угол PQS равен 60°. Мы должны найти угол POS.

Первое свойство, которое мы будем использовать, гласит, что угол, образованный двумя хордами, равен половине суммы измерений пересекающих их дуг. В данном случае, PQ и QS являются хордами, и угол POS - это угол, образованный этими хордами. Таким образом, мы можем записать:

угол POS = 1/2 (измерение дуги PQ + измерение дуги QS)

Для того чтобы вычислить измерение дуги, мы можем использовать то, что угол, образованный этой дугой и хордой, равен половине измерения этой дуги. В данном случае, мы можем использовать угол PQO для вычисления измерения дуги PQ. Таким же образом, угол QSO поможет нам вычислить измерение дуги QS.

Угол PQO равен половине измерения дуги PQ:

угол PQO = 1/2 измерение дуги PQ

Угол QSO равен половине измерения дуги QS:

угол QSO = 1/2 измерение дуги QS

Заметим, что дуга QS - это не всё окружность, а только часть окружности от точки Q до точки S. Для вычисления измерения дуги QS, нам нужно знать измерение всей окружности и вычесть из него измерение дуги QP:

измерение дуги QS = измерение окружности - измерение дуги QP

Теперь мы можем выразить угол POS через измерения дуг PQ и QS:

угол POS = 1/2 (измерение дуги PQ + измерение дуги QS)
= 1/2 (угол PQO + угол QSO)
= 1/2 (1/2 измерение дуги PQ + 1/2 (измерение окружности - измерение дуги QP))

Теперь, зная, что общая сумма углов вокруг точки равна 360° (сумме измерений дуг окружности), мы можем выразить измерение дуги PQ и QS:

измерение дуги PQ = общая сумма углов вокруг точки - угол PQS - угол PQO
измерение дуги QS = общая сумма углов вокруг точки - угол PQS - угол QSO

Подставим эти значения в выражение для угла POS:

угол POS = 1/2 (1/2 (измерение дуги PQ) + 1/2 (измерение окружности - измерение дуги QP))
= 1/2 (1/2 ((общая сумма углов вокруг точки - угол PQS - угол PQO)) + 1/2 (измерение окружности - (общая сумма углов вокруг точки - угол PQS - угол QP)))

Упростим это выражение:

угол POS = 1/2 (1/2 (общая сумма углов вокруг точки - угол PQS - угол PQO) + 1/2 (измерение окружности - общая сумма углов вокруг точки + угол PQS + угол QP))
= 1/2 (1/2 (общая сумма углов вокруг точки) - 1/2 угол PQS - 1/2 угол PQO + 1/2 измерение окружности - 1/2 общая сумма углов вокруг точки + 1/2 угол PQS + 1/2 угол QP)

Заметим, что общая сумма углов вокруг точки - это измерение окружности, и угол PQO = угол QPO. Подставим это в выражение:

угол POS = 1/2 (1/2 измерение окружности - 1/2 угол PQS - 1/2 угол QPO + 1/2 измерение окружности - 1/2 измерение окружности + 1/2 угол PQS + 1/2 угол QP)
= 1/2 (измерение окружности - 1/2 угол QPO + 1/2 угол QP)

Теперь, угол QPO - это угол, образованный хордой QS и дугой QP. Исходя из первого свойства, угол POS равен половине суммы измерения этой дуги QP и измерения дуги QS:

угол POS = 1/2 (измерение окружности - 1/2 (измерение дуги QP + измерение дуги QS))

И, наконец, подставим значения измерения дуги QP и измерения дуги QS в это выражение:

угол POS = 1/2 (измерение окружности - 1/2 ((общая сумма углов вокруг точки - угол PQS - угол PQO) + (измерение окружности - (общая сумма углов вокруг точки - угол PQS - угол QP))))

Теперь мы можем конкретно значения измерения окружности и общей суммы углов вокруг точки. Подставим эти значения и упростим выражение:

угол POS = 1/2 (360° - 1/2 (360° - 60° - 90°) + (360° - (360° - 60° - 60°)))
= 1/2 (360° - 1/2 (360° - 150°) + (360° - (360° - 180°)))
= 1/2 (360° - 1/2 (210°) + (360° - (120°)))
= 1/2 (360° - 1/2 (210°) + (360° - 120°))
= 1/2 (360° - (105°) + (360° - 120°))
= 1/2 (360° - 105° + 240°)
= 1/2 (495°)

Таким образом, угол POS равен 247.5°.