Question

Даны вершины ΔABC:A(1;7),B(−3;−1),C(11;−3). Чему равен острый угол А (в градусах)?
Не сходится ответ...

Answer 1

Для решения этой задачи, нам необходимо использовать формулы и определения из геометрии. Давайте посмотрим, как осуществить вычисления.

1. Для начала, нужно найти длины сторон треугольника ABC. Для этого, воспользуемся формулой расстояния между двумя точками на плоскости:
Длина стороны AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2), где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек A и B соответственно.

Расстояние между A и B:
AB = √((-3 - 1)^2 + (-1 - 7)^2) = √((-4)^2 + (-8)^2) = √(16 + 64) = √80 = 4√5

Таким же образом, найдем длины сторон BC и AC:
BC = √((11 - (-3))^2 + (-3 - (-1))^2) = √(14^2 + (-2)^2) = √(196 + 4) = √200 = 10√2
AC = √((11 - 1)^2 + (-3 - 7)^2) = √(10^2 + (-10)^2) = √(100 + 100) = √200 = 10√2

2. Затем, воспользуемся косинусной теоремой для определения углов треугольника:
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc * cos(A),
где a, b, c - длины сторон треугольника, A - угол напротив стороны a.

Мы уже нашли длины сторон AB, BC и AC. Будем искать угол A.

Для этого, возьмем уравнение для стороны AB:
(4√5)^2 = (10√2)^2 + (10√2)^2 - 2 * 10√2 * 10√2 * cos(A),
упростим уравнение:
80 = 200 + 200 - 400 * cos(A),
80 = 400 - 400 * cos(A),
400 * cos(A) = 400 - 80,
400 * cos(A) = 320,
cos(A) = 320 / 400,
cos(A) = 0.8.

3. Наконец, найдем значение острого угла A с помощью обратной тригонометрической функции:
A = arccos(0.8).

Используя калькулятор или таблицу значений, получаем:
A ≈ 37°.

Таким образом, острый угол A в треугольнике ABC с вершинами A(1;7), B(−3;−1), C(11;−3) примерно равен 37°.