Question

Подробное решение Из коробки, в которой лежат 3 красных и 2 синих карандаша, взяты
наудачу 3 карандаша. Найти математическое ожидание дискретной
случайной величины X  количества красных карандашей, взятых из
коробки.

Answer 1

В данной задаче мы имеем дело с дискретной случайной величиной Х, которая представляет собой количество красных карандашей, взятых из коробки.
Изначально в коробке лежит 3 красных карандаша и 2 синих карандаша.

Для нахождения математического ожидания дискретной случайной величины Х, нам необходимо умножить каждое возможное значение случайной величины Х на вероятность этого значения, а затем сложить полученные произведения.

Пусть A - событие "извлечение карандаша, который оказался красным", и B - событие "извлечение карандаша, который оказался синим". Тогда вероятности этих событий можно найти по формуле:

P(A) = (количество красных карандашей)/(общее количество карандашей) = 3/(3+2) = 3/5
P(B) = (количество синих карандашей)/(общее количество карандашей) = 2/(3+2) = 2/5

Теперь рассмотрим возможные значения случайной величины Х:
X = 0: это означает, что из трех карандашей, взятых наудачу из коробки, ни один не является красным. Вероятность такого события равна P(B) * P(B) * P(B) = (2/5) * (2/5) * (2/5) = 8/125
X = 1: это означает, что из трех карандашей, взятых наудачу из коробки, ровно один является красным. Вероятность такого события равна P(A) * P(B) * P(B) + P(B) * P(A) * P(B) + P(B) * P(B) * P(A) = (3/5) * (2/5) * (2/5) + (2/5) * (3/5) * (2/5) + (2/5) * (2/5) * (3/5) = 36/125
X = 2: это означает, что из трех карандашей, взятых наудачу из коробки, ровно два являются красными. Вероятность такого события равна P(A) * P(A) * P(B) + P(A) * P(B) * P(A) + P(B) * P(A) * P(A) = (3/5) * (3/5) * (2/5) + (3/5) * (2/5) * (3/5) + (2/5) * (3/5) * (3/5) = 54/125
X = 3: это означает, что из трех карандашей, взятых наудачу из коробки, все три являются красными. Вероятность такого события равна P(A) * P(A) * P(A) = (3/5) * (3/5) * (3/5) = 27/125

Теперь вычислим математическое ожидание, умножив каждое возможное значение случайной величины X на соответствующую вероятность и сложив полученные произведения:

Математическое ожидание = (X=0 * вероятность (X=0)) + (X=1 * вероятность (X=1)) + (X=2 * вероятность (X=2)) + (X=3 * вероятность (X=3))
= (0 * 8/125) + (1 * 36/125) + (2 * 54/125) + (3 * 27/125)
= 0 + 36/125 + 108/125 + 81/125
= 225/125
= 1.8

Таким образом, математическое ожидание дискретной случайной величины X, определяющей количество красных карандашей, взятых из коробки, равно 1.8.