Question

Нетрудно видеть, что параболы y = x^2 + 4 и y = -(6 - x)^x имеют две общие касательные. Найдите абсциссу точки пересечения этих касательных между собой.

Answer 1

Даны две параболы y = x^2 + 4 и y = -(6 - x)^2 - 2, имеющие две общие касательные. Найти абсциссу точки пересечения этих касательных между собой.

Уравнение касательной - это уравнение прямой и имеет вид y=kx+b

Общая касательная пересекается с каждым графиком в одной точке. Тогда для первого графика точку пересечения с касательной можно найти из уравнения x2 + 4 = kx + b, для второго графика из уравнения –(6 –x)2- 2 = kx + b.

1) x2 + 4 = kx + b

    x2+ 4 – kx - b = 0

    x2 – kx + (4 - b) = 0

Касательная имеет с графиком только одну общую точку, следовательно, корень уравнения должен быть один, а это возможно, когда дискриминант равен нулю.

D = k2 - 4(4 - b) = 0

2) –(6 –x)2- 2 = kx + b.

   -36 + 12x - x² - 2 = kx + b

  x2 - (12 - k)x + (38 + b) = 0

Приравниваем дискриминант к нулю:

D = (12 - k)2 - 4(38 + b) = 0.

Так как касательная общая, значит, дискриминанты обоих уравнений должны быть равны нулю вместе. Решаем систему уравнений:

{ k2 - 4(4 - b) = 0;

{ (12 - k)2 - 4(38 + b) = 0.

{ k2 – 16 + 4b = 0;

{ 144 - 24k + k2 – 152 - 4b = 0.

{ k2 + 4b - 16 = 0;

{ k2 –  24k - 4b - 8 = 0.

Вычтем почленно из первого уравнения второе:

24k + 8b - 8 = 0 или, сократив на 8,

3k + b - 1 = 0.

b = 1 - 3k.  Подставим в первое уравнение:

k2 + 4(1 - 3k) - 16 = 0,

k2 - 12k + 4 - 16 = 0,

k2 - 12k - 12 = 0. D = 144 – 4*1*(-12) = 192,

k1 = (12 - √192)/2 = (12 - 8√3)/2 = 6 - 4√3 ≈ -0,9282,

k2 = (12 + √192)/2 = (12 + 8√3)/2 = 6 + 4√3 ≈12,9282,

b1 = 1 - 3·(6 - 4√3) = -17 + 12√3 ≈ 3,7846,

b2 = 1 - 3·(6 + 4√3) = -17 - 12√3 ≈ -37,7846.

Решение состоит из двух пар чисел:  

(k = 6 - 4√3; b = -17 + 12√3) и (k = 6 + 4√3; b = -17 - 12√3).

Это означает, что графики имеют две общие касательные, уравнения которых:

y = (6 - 4√3)x -17 + 12√3  и  у = (6 + 4√3)x -17 - 12√3.

Находим точку А пересечения касательных.  

 (6 - 4√3)x -17 + 12√3 = (6 + 4√3)x -17 - 12√3,

 6x - 4√3x - 6x - 4√3x = -17 - 12√3 +17 - 12√3,

 - 8√3x = - 24√3,

 x = 3, y = (6 - 4√3)*3 -17 + 12√3 = 18 - 12√3 -17 + 12√3 = 1.

ответ: точка пересечения А(3; 1).