Question

Здравствуйте с решением! Дана функция z = x^2 + xy^3 + 3y^4
точка A(2;1) и вектор а = (3; − 4)

Найти: а) grad z в точке а ; б) производную в точке A по направлению вектора а.

Заранее !

Answer 1

Здравствуйте! Давайте решим данный вопрос поэтапно.

а) Для начала найдем градиент функции z в точке A(2;1). Градиент функции - это вектор, состоящий из частных производных функции по каждой из переменных. В данном случае у нас есть две переменные - x и y. Поэтому градиент покажет, как меняется функция в каждом из направлений.

Чтобы найти градиент, необходимо частные производные функции по переменным и сложить их. Давайте проделаем это:

∂z/∂x = 2x + y^3
∂z/∂y = x*3y^2 + 12y^3

Теперь подставим вместо x и y значения из точки A(2;1):

∂z/∂x = 2*2 + 1^3 = 4 + 1 = 5
∂z/∂y = 2*3*1^2 + 12*1^3 = 6 + 12 = 18

Таким образом, градиент функции z в точке A равен (5; 18).

б) Теперь найдем производную функции z в точке A по направлению вектора а. Производная функции по направлению вектора - это скалярное произведение градиента функции и нормализованного вектора направления.

Нормализуем вектор а, разделив его на его длину:
|a| = √(3^2 + (-4)^2) = √(9 + 16) = √25 = 5
a_norm = (3/5; -4/5)

Теперь найдем производную функции по направлению вектора а:

∂z/∂a = grad(z) * a_norm = (5; 18) * (3/5; -4/5) = 5*(3/5) + 18*(-4/5) = 3 - 72/5 = 3 - 14.4 = -11.4

Таким образом, производная функции z в точке A по направлению вектора а равна -11.4.

Надеюсь, ответ был понятен! Если возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать.