из 40 студентов экзамен по математической логике сдали на отлично 12 человек,по физике 10,по педагогике 16,по логике и физике 8,по логике и педагогике-6,по физике и педагогике-5,по всем трем предметам-3. сколько студентов получили хотя бы по одной отличной оценке
Пусть А, В и С - множества студентов, получивших отличные оценки по математической логике, физике и педагогике соответственно. Нам требуется найти количество студентов, получивших хотя бы одну отличную оценку, то есть |А ∪ В ∪ С|.
Используя формулу включений-исключений, распишем это количество:
|А ∪ В ∪ С| = |А| + |В| + |С| - |А ∩ В| - |А ∩ С| - |В ∩ С| + |А ∩ В ∩ С|.
Из условия задачи уже известно:
|А| = 12 (12 человек сдали математическую логику на отлично),
|В| = 10 (10 человек сдали физику на отлично),
|С| = 16 (16 человек сдали педагогику на отлично).
Также из условия задачи известны следующие значения:
|А ∩ В| = 8 (8 человек сдали и математическую логику, и физику на отлично),
|А ∩ С| = 6 (6 человек сдали и математическую логику, и педагогику на отлично),
|В ∩ С| = 5 (5 человек сдали и физику, и педагогику на отлично),
|А ∩ В ∩ С| = 3 (3 человека сдали все три предмета на отлично).
Теперь подставим известные значения в формулу и выполним вычисления:
|А ∪ В ∪ С| = 12 + 10 + 16 - 8 - 6 - 5 + 3 = 22.
Итак, 22 студента получили хотя бы по одной отличной оценке.