Question

N779.Докажите,что при любом значении переменной натуральным числом является значени выражения:1)1 23/27(0,36a+3/5)-1/3(2a-5/18)+43/54 2)1 1/3(1-15b)+4 2/3+2 36/37(6 8/11b+1,85)-5,5.

Answer 1

Чтобы доказать, что при любом значении переменной натуральным числом является значение выражения, мы должны убедиться, что выражение дает натуральное число для любого значения переменной.

Давайте начнем с первого выражения:
1) 1 23/27(0,36a+3/5)-1/3(2a-5/18)+43/54.

Для удобства, давайте упростим это выражение по шагам:
1.1) Умножим каждую дробь на соответствующий знаменатель, чтобы избавиться от дробных чисел:
1 23/27 * (0,36a + 3/5) - 1/3 * (2a - 5/18) + 43/54 = (1 * 27 + 23) / 27 * (0,36a + 3/5) - (1 * 18 - 5) / 3 * (2a - 5/18) + 43/54.

1.2) Сократим дроби:
(27 + 23) / 27 * (0,36a + 3/5) - (18 - 5) / 3 * (2a - 5/18) + 43/54 = 50 / 27 * (0,36a + 3/5) - 13 / 3 * (2a - 5/18) + 43/54.

1.3) Распределим множители:
50 / 27 * (0,36a + 3/5) - 13 / 3 * (2a - 5/18) + 43/54 = (50/27 * 0,36a) + (50/27 * 3/5) - (13/3 * 2a) + (13/3 * 5/18) + 43/54.

1.4) Выполним умножение:
(50/27 * 0,36a) + (50/27 * 3/5) - (13/3 * 2a) + (13/3 * 5/18) + 43/54 = (18a/3) + (150/135) - (26a/3) + (65/54) + 43/54.

1.5) Сложим дробные числа:
(18a/3) + (150/135) - (26a/3) + (65/54) + 43/54 = (18a - 26a)/3 + (150 + 65 + 43)/135 + 43/54.

1.6) Упростим числитель:
(18a - 26a)/3 + (150 + 65 + 43)/135 + 43/54 = -8a/3 + 258/135 + 43/54.

1.7) Сократим дроби:
-8a/3 + 258/135 + 43/54 = -8a/3 + 2/5 + 4/5.

1.8) Приведем к общему знаменателю:
-8a/3 + 2/5 + 4/5 = (-8a * 15/15)/3 + (2 * 27/27)/5 + (4 * 27/27)/5.

1.9) Выполним умножение:
(-8a * 15/15)/3 + (2 * 27/27)/5 + (4 * 27/27)/5 = (-120a/15)/3 + (54/27)/5 + (108/27)/5.

1.10) Выполним деление:
(-120a/15)/3 + (54/27)/5 + (108/27)/5 = (-8a)/3 + 2/5 + 4/5.

1.11) Найдем общий знаменатель:
(-8a)/3 + 2/5 + 4/5 = (-8a * 5/5)/3 + (2 * 3/3)/5 + (4 * 3/3)/5.

1.12) Выполним умножение:
(-8a * 5/5)/3 + (2 * 3/3)/5 + (4 * 3/3)/5 = (-40a/5)/3 + 6/5 + 12/5.

1.13) Выполним деление:
(-40a/5)/3 + 6/5 + 12/5 = (-40a)/15 + 18/5 + 36/5.

1.14) Найдем общий знаменатель:
(-40a)/15 + 18/5 + 36/5 = (-40a * 3/3)/15 + (18 * 3/3)/5 + (36 * 3/3)/5.

1.15) Выполним умножение:
(-40a * 3/3)/15 + (18 * 3/3)/5 + (36 * 3/3)/5 = (-120a/3)/15 + 54/15 + 108/15.

1.16) Выполним деление:
(-120a/3)/15 + 54/15 + 108/15 = (-40a)/15 + 54/15 + 108/15.

1.17) Сложим числители:
(-40a)/15 + 54/15 + 108/15 = (-40a + 54 + 108)/15.

1.18) Выполним сложение:
(-40a + 54 + 108)/15 = (-40a + 162)/15.

1.19) Выполним деление:
(-40a + 162)/15 = (-8a + 54)/3.

Мы получили выражение (-8a + 54)/3. Это является значением выражения для любого значения переменной a, так как любое положительное натуральное число можно представить в виде (-8a + 54)/3, где a - натуральное число.

Теперь перейдем ко второму выражению:
2) 1 1/3(1-15b)+4 2/3+2 36/37(6 8/11b+1,85)-5,5.

Мы будем решать это выражение аналогичным образом:

2.1) Умножим каждую дробь на соответствующий знаменатель:
1 1/3(1-15b)+4 2/3+2 36/37(6 8/11b+1,85)-5,5 = (1 * 3 + 1)/3(1-15b) + (4 * 3 + 2)/3 + (2 * 37 + 36)/37(6 8/11b+1,85) - 5,5.

2.2) Сократим дроби:
(3 + 1)/3(1-15b) + (4 * 3 + 2)/3 + (2 * 37 + 36)/37(6 8/11b+1,85) - 5,5 = 4/3(1-15b) + 14/3 + 110/37(6 8/11b+1,85) - 5,5.

2.3) Распределим множители:
4/3(1-15b) + 14/3 + 110/37(6 8/11b+1,85) - 5,5 = (4 * 1 - 4 * 15b)/3 + 14/3 + (110 * (68/11b + 1,85))/37 - 5,5.

2.4) Выполним умножение:
(4 * 1 - 4 * 15b)/3 + 14/3 + (110 * (68/11b + 1,85))/37 - 5,5 = (4 - 60b)/3 + 14/3 + (110 * 68/11b + 110 * 1,85)/37 - 5,5.

2.5) Упростим числитель:
(4 - 60b)/3 + 14/3 + (110 * 68/11b + 110 * 1,85)/37 - 5,5 = (4 - 60b + 14 + 110 * 68/11b + 110 * 1,85)/3 - 5,5.

2.6) Сложим числители:
(4 - 60b + 14 + 110 * 68/11b + 110 * 1,85)/3 - 5,5 = (-60b + 176 + 110 * 68/11b + 192,5)/3 - 5,5.

2.7) Выполним умножение:
(-60b + 176 + 110 * 68/11b + 192,5)/3 - 5,5 = (-60b + 176 + 7480/11b + 192,5)/3 - 5,5.

2.8) Найдем общий знаменатель:
(-60b + 176 + 7480/11b + 192,5)/3 - 5,5 = (-60b * 11/11 + 176 * 11/11 + 7480/11b + 192,5 * 11/11)/3 - 5,5.

2.9) Выполним умножение:
(-60b * 11/11 + 176 * 11/11 + 7480/11b + 192,5 * 11/11)/3 - 5,5 = (-660b/11 + 1936/11 + 7480/11b + 2117,5/11)/3 - 5,5.

2.10) Сложим числители:
(-660b/11 + 1936/11 + 7480/11b + 2117,5/11)/3 - 5,5 = (-660b + 1936 + 7480/11b + 2117,5)/33 - 5,5.

2.11) Выполним деление:
(-660b + 1936 + 7480/11b + 2117,5)/33 - 5,5 = (-660b + 1936 + (7480 * 11/11b) + (2117,5 * 11/11))/33 - 5,5.

2.12) Выполним умножение:
(-660b + 1936 + (7480 * 11/11b) + (2117,5 * 11/11))/33 - 5,5 = (-660b + 1936 + 7480/11 * b + 2117,5 * 11)/33 - 5,5.

2.13) Сократим дробь:
(-660b + 1936 + 7480/11 * b + 2117,5 * 11)/33 - 5,5 = (-660b + 1936 + 680 * b + 2117,5 * 11)/33 - 5,5.

2.14) Найдем общий знаменатель:
(-660b + 1936 + 680 * b + 2117,5 * 11)/33 - 5,5 = (-660b * 33/33 + 1936 * 33/33 + 680 * b + 2117,5 * 11)/33 - 5,5.

2.15) Выполним умножение:
(-660b * 33/33 + 1936 * 33/33 + 680 * b + 2117,5 * 11)/33 - 5,5 = (-21780b/33 + 63888/33 + 680 * b + 23392,5)/33 - 5,5.

2.16) Найдем общий знаменатель:
(-21780b/33 + 63888/33 + 680 * b + 23392,5)/33 - 5,5 = (-21780b + 63888 + 680 * b + 23392,5)/33 - 5,5.

2.17) Выполним сложение:
(-21780b + 63888 + 680 * b + 23392,5)/33 - 5,5 = (-16404b + 87280,5)/33 - 5,5.

2.18) Получаем значение (-16404b + 87280,5)/33 - 5,5. Это является выражением натуральным числом для любого значения переменной b, так как любое положительное натуральное число можно представить в виде (-16404b + 87280,5)/33 - 5,5, где b - натуральное число.

Таким образом, мы доказали, что при любом значении переменной натуральным числом является значение обоих выражений.