Доход студентов. Из предыдущих исследований известно, что месячный доход студентов университета имеет нормальное распределение со стандартным отклонением 60. О случайным образом 225 человек. Их средний доход составил 310. Найти 95%-ый доверительный интервал для среднего месячного дохода всех студентов университета.
Шаг 1: Поставленная задача относится к нахождению доверительного интервала для среднего месячного дохода всех студентов университета. Мы знаем, что месячный доход имеет нормальное распределение со стандартным отклонением 60.
Шаг 2: Для нахождения доверительного интервала нам нужно использовать данные о выборке студентов, которая состоит из 225 человек, и их среднего дохода, который составил 310.
Шаг 3: Ответ на задачу можно представить как интервал, в котором с определенной вероятностью находится истинное значение среднего месячного дохода всех студентов университета. В данной задаче искомый доверительный интервал является 95%-ым.
Шаг 4: Для решения задачи нам нужно найти знчение t-критерия Стьюдента для данного доверительного интервала. Так как выборка состоит из 225 человек, степеней свободы равны n-1, где n - размер выборки. Таким образом, степеней свободы равны 224 (225-1).
Шаг 5: По таблице квантилей t-распределения для 95%-ого доверительного интервала и степеням свободы 224, мы находим значение t, равное приблизительно 1,97.
Шаг 6: Теперь мы можем найти половину ширины доверительного интервала по формуле:
половина ширины интервала = t * (стандартное отклонение выборки / корень из n),
где t - значение t-критерия Стьюдента, стандартное отклонение выборки - 60 (как указано в задаче), а n - размер выборки (225).
половина ширины интервала = 1,97 * (60 / √225) = 1,97 * (60 / 15) = 1,97 * 4 = 7,88.
Шаг 7: Чтобы найти доверительный интервал, мы должны определить верхнюю и нижнюю границы.
Нижняя граница доверительного интервала = средний доход выборки - половина ширины интервала,
верхняя граница доверительного интервала = средний доход выборки + половина ширины интервала.
Средний доход выборки = 310 (как указано в задаче).
Подставляя значения в формулу, получаем:
нижняя граница доверительного интервала = 310 - 7,88 = 302,12,
верхняя граница доверительного интервала = 310 + 7,88 = 317,88.
Ответ: 95%-ый доверительный интервал для среднего месячного дохода всех студентов университета составляет от 302,12 до 317,88.
Обоснование: Так как мы использовали информацию о случайной выборке студентов и их среднего дохода, а также учли стандартное отклонение и размер выборки, наше решение позволяет с определенной вероятностью оценить доверительный интервал для среднего месячного дохода всех студентов университета.