Предположим, что функция f при всех x принадлежит R удовлетворяет неравенству -x^2<=f(x)<=x^2 а)Чему равно значение f (0)? Докажите, что функция f дифференцируема в точке х=0 и найдите f '(0)
б)Составьте уравнение касательной к графику f в точке (0; f (0))
а) Для начала, чтобы найти значение функции f(0), подставим в неравенство x=0:
-0^2 ≤ f(0) ≤ 0^2
0 ≤ f(0) ≤ 0
Таким образом, получаем, что f(0) = 0.
Теперь перейдем к доказательству дифференцируемости функции f(x) в точке x=0.
Для того чтобы функция была дифференцируема в точке, необходимо и достаточно, чтобы существовал предел ее приращения, когда аргумент стремится к 0.
Заданное неравенство можно переписать в следующем виде:
-x^2 ≤ f(x) и f(x) ≤ x^2
Воспользуемся определением производной функции в точке x=0:
f'(0) = lim(x→0) [f(x) - f(0)] / (x-0)
Подставим значение f(0) = 0:
f'(0) = lim(x→0) [f(x)] / x
Так как при всех x выполнено неравенство -x^2 ≤ f(x), то при x≠0, f(x)/x находится между -x и x.
Тогда для предела f'(0) получаем:
- x ≤ f(x)/x ≤ x
Теперь применим теорему о двух милиционерах, утверждающих, что если пределы двух функций равны и равны некоторому числу C (в данном случае C = 0), то предел отношения функций тоже равен числу C:
lim(x→0) -x = lim(x→0) x = 0
Тогда получаем, что предел f'(0) равен 0:
lim(x→0) [f(x)] / x = 0
Это означает, что функция f(x) дифференцируема в точке x=0, и f'(0) = 0.
б) Чтобы составить уравнение касательной к графику функции f(x) в точке (0; f(0)), нам нужно найти значение производной функции f'(x) в данной точке.
Мы уже вычислили значение производной f'(0) = 0. Так как производная функции в точке x=0 равна нулю, то уравнение касательной будет иметь вид y = f(0). Подставляя значение функции f(0) = 0, получаем:
y = 0
Таким образом, уравнение касательной к графику функции f(x) в точке (0; f(0)) будет иметь вид y = 0.
Надеюсь, что ответ был понятен и полезен для вас, и что это поможет вам лучше понять и решать подобные задачи! Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их. Удачи в учебе!