Question

Математика №2 1!+2!+3!+...+n! найдите сумму всех n натуральных чисел, сумма которых равна квадрату числа.

Answer 1

Пусть $1!+2!+3!+\ldots +n! = m^2$. Заметим, что при $n\geq 5$ величина слева $1!+2!+3!+\ldots +n! \equiv 1!+2!+3!+4! \equiv 3 \mod 5$, а потому при $n\geq 5$ решений нет. Остается проверить $n\in \overline{1,4}$: $1! = 1^2,\;1!+2! = 3,\; 1!+2!+3! = 3^2,\; 1!+2!+3!+4! = 33$, итого =, решениями являются $n=1,\; n=3$, их сумма $4$.