ответ: y=e^x*[C1*cos(2*x)+C2*sin(2*x)]+x²+2*x-2, где C1 и C2 - произвольные постоянные.
Пошаговое объяснение:
Перед нами - неоднородное ЛДУ 2 порядка с постоянными коэффициентами. Его общее решение y=y1+y2, где y1 - общее решение однородного уравнения y"-2*y'+5*y=0, а y2 - частное решение данного неоднородного уравнения.
1) Находим y1. Составляем характеристическое уравнение (ХУ): k²-2*k+5=0. Оно имеет комплексные сопряжённые корни k1=1+2*i и k2=1-2*i, где i=√(-1). Поэтому y1=e^x*[C1*cos(2*x)+C2*sin(2*x)], где C1 и C2 - произвольные постоянные.
2) Находим y2. Правая часть уравнения имеет "специальный" вид y2=e^(m*x)*[P1(x)*cos(n*x)+P2(x)*sin(n*x)], где m=n=0, P1(x)=5*x²+6*x-12, P2(x)=0. Так как числа m+i*n и m-i*n не являются корнями ХУ, то y2=e^(m*x)*[R1(x)*cos(n*x)+R2(x)*sin(n*x)]=R1(x), где R1(x) - многочлен, степень которого равна старшей из степеней многочленов P1(x) и P2(x). Так как эта степень равна двум, то R1(x)=A*x²+B*x+C, где A,B,C - неизвестные пока коэффициенты. Для их нахождения дважды дифференцируем y2: y2'=2*A*x+B, y2"=2*A и подставляем y2, y2' и y2" в уравнение. После приведения подобных членов получаем алгебраическое уравнение: 5*A*x²+x*(-4*A+5*B)+(2*A-2*B+5*C)=5*x²+6*x-12. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, приходим к системе уравнений:
5*A=5
-4*A+5*B=6
2*A-2*B+5*C=-12
Решая её, находим A=1, B=2, С=-2. Тогда y2=x²+2*x-2.
3) Находим y=y1+y2=e^x*[C1*cos(2*x)+C2*sin(2*x)]+x²+2*x-2, где C1 и C2 - произвольные постоянные.
Проверка:
y'=C1*e^x*cos(2*x)-2*C1*e^x*sin(2*x)+C2*e^(x)*sin(2*x)+2*C2*e^x*cos(2*x)+2, y'"=-3*C1*e^x*cos(2*x)-4*C1*e^x*sin(2*x)-3*C2*e^x*sin(2*x)+4*C2*e^x*cos(2*x)+2, y"-2*y'+5*y=5*x²+6*x-12, что совпадает с правой частью уравнения. Значит, решение найдено верно.
- 24 + 6х + 4у + 20 = 2
6х + 4у - 4 = 2
6х + 4у = 6
у = (6 - 6х)/4
у = 6(1 - х)/4
у = 3/2*(1-х)
Пусть х = 1, тогда у = 0
ответ: (1;0)
4)
4(x+6)+y(x+2)=16+y(x+6)
4х + 24 + ху + 2у = 16 + ху + 6у
4х + ху + 2у- ху - 6у = 16 - 24
4х - 4у = -8
4(х - у) = - 8
х - у = - 2
у = х + 2
Пусть х = 0, у = 0+2 = 2
ответ: (0; 2)
3)
(x-3)+x(y+4)=-45+y(x-3)
х - 3 + ху + 4х = - 45 + ху - 3у
х + ху + 4х - ху + 3у = - 45 +3
5х + 3у = - 42
у = (- 42 - 5х)/3
Пусть х = 0, тогда у = -14
ответ: (0; - 14)
2)
11(1+x)-9(7-y)=-36
11 + 11х - 63 + 9у = - 36
11х + 9у - 52 = - 36
11х + 9у = 52 - 36
11х + 9у = 16
у = (16 - 11х)/9
Пусть х = 2, тогда у = -6/9 = - 2/3
ответ: (2; - 2/3)