Question

Решите , неравенство
( 2x+1) log5 10+ log5 (4^x -1/10)<=2x -1

Answer 1

Давайте решим данное неравенство шаг за шагом:

1. Начнем с упрощения выражений внутри логарифмов:
(2x + 1) log5 10 = log5 (10^(2x + 1))

2. Заменим 10^(2x + 1) на 5^(2x + 1) * 2^(2x + 1), с помощью свойства логарифма log_a (b^c) = c * log_a (b):
(2x + 1) log5 10 = log5 (5^(2x + 1) * 2^(2x + 1))

3. Упростим выражение в логарифме:
log5 (5^(2x + 1) * 2^(2x + 1)) = log5 (5 * 5^2x * 2 * 2^2x+1) = log5 (5^(2x+1)) + log5 (2^(2x+1))

4. Воспользуемся свойствами логарифмов, чтобы разделить сумму логарифмов на два отдельных выражения:
log5 (5^(2x+1)) + log5 (2^(2x+1)) = (2x + 1) + (2x + 1) log5 (2)

5. Теперь подставим обратно в исходное неравенство:
(2x + 1) + (2x + 1) log5 (2) + log5 (4^x - 1/10) <= 2x - 1

6. Удалим скобки:
2x + 1 + 2x log5 (2) + log5 (2) + log5 (4^x - 1/10) <= 2x - 1

7. Перенесем все члены с x на одну сторону, а константы на другую:
2x + 2x log5 (2) - 2x <= -2 - 1 - 1 + log5 (1/10) - log5 (4^x)

8. Упростим левую сторону:
2x (1 + log5 (2) - 1) <= -4 + log5 (1/10) - log5 (4^x)

9. Упростим правую сторону:
2x log5 (2) <= -4 + log5 (1/10) - log5 (4^x)

10. Избавимся от логарифмов:
log5 (2^(2x)) <= -4 + log5 (1/10) - log5 (4^x)

11. Теперь применим свойство логарифма для упрощения левой стороны:
2x <= -4 + log5 (1/10) - x

12. Перенесем все члены с x на одну сторону:
2x + x <= -4 + log5 (1/10)
3x <= -4 + log5 (1/10)

13. Вычислим сложение и вычитание справа от неравенства:
3x <= -4 - log5 (10) + log5 (1)

14. Упростим выражение в знаменателе слева:
3x <= -4 - 1 + 0
3x <= -5

15. Разделим обе части неравенства на 3:
x <= -5/3

Таким образом, решением данного неравенства являются все значения x, которые меньше или равны -5/3.