Точка С делит отрезок АВ длиной 5см в отношении 1:4, считая от точки А. Постройте две окружности с центрами в точках А и В соответственно, касающиеся друг друга внешним образом в точке С. Каким должен быть радиус в точке А, чтобы она касалась построенной окружности с центром в точке В внутренним образом
Для начала, построим отрезок АВ длиной 5 см. Укажем начало отсчёта на нём в точке А.
Далее, разделим отрезок АС на 5 равных частей, поскольку отношение равно 1:4. Проведём линию из точки С, перпендикулярную отрезку АВ.
Построим окружность с центром в точке А и радиусом, равным расстоянию от точки А до точки С. Таким образом, точка С будет лежать на окружности.
Затем, проведём линию, проходящую через точку В и перпендикулярную отрезку АС. Пусть эта линия пересекает окружность с центром в точке А в точке D.
Теперь, проведём линию, проходящую через точку D и перпендикулярную отрезку АВ. Пусть эта линия пересекает линию с исходным отрезком АВ в точке E.
Теперь у нас есть касательная к окружности с центром в точке В, которая проходит через точку С (линия ВС), и точка E, которая лежит на этой касательной.
Нам нужно найти радиус окружности с центром в точке А, чтобы она касалась построенной окружности с центром в точке В внутренним образом.
Обозначим радиус окружности с центром в точке А как r.
Используя свойство касательных, мы знаем, что линия, соединяющая центры двух касающихся окружностей, проходит через точку касания.
Так как точка С лежит на этой линии, мы можем взять треугольник ВСД. В этом треугольнике ВС - высота, проведенная к основанию Д, а ЕА - радиус касаемой окружности с центром в точке А.
Заметим, что треугольник ВСД подобен треугольнику ВЕА по 2 точкам и поэтому их основания пропорциональны.
Основание (отрезок ЕА) в данном случае представляет собой r-см + r-см = 2r-см.
Так как АВ = 5-см, а АС = 1/5 * 5 = 1-см, то масштаб подобия между данными треугольниками равен 1:5.
Пропорция масштаба подобия для оснований треугольников ВСД и ВЕА составляет:
(2r-см) / (5-см) = (1-см) / (5-см).
Решая эту пропорцию, получаем:
5 * 2r-см = 1-см.
10r-см = 1-см.
Разделив обе части на 10, получаем:
r-см = 1/10-см.
Таким образом, радиус окружности с центром в точке А должен быть равен 1/10 см, чтобы она касалась окружности с центром в точке В внутренним образом.