До точки экстремума функция возрастает, а после — убывает. Значит, это точка максимума. Максимальное значение функции равно . Прикинем график функции (см. рис. 1). Уравнение имеет 2 различных решения, если:
ответ:
8. При изменении размеров пирамиды соотношения между соответственными элементами не изменятся, поэтому примем для простоты вычислений сторону основания за 1.
Рассмотрим первую пирамиду:
Пусть SKM — сечение пирамиды SABCD, где K и M — середины BC и AD соответственно. Тогда в это сечение попадает окружность, вписанная в треугольник SKM и касающаяся KM в точке S' (проекция точки S), SK в точке K'. Пусть ∠SKS' = α, KO₁ — биссектриса, тогда:
Учитывая, что угол находится в первой четверти,
Рассмотрим вторую пирамиду:
Пусть S₁A₁C₁ — сечение пирамиды S₁A₁B₁C₁D₁. Это сечение содержит окружность, вписанную в треугольник S₁A₁C₁, касающуюся стороны A₁C₁ в точке S₁' (проекция точки S₁) и стороны S₁A₁ в точке A₁'. Пусть ∠S₁A₁S₁' = β, A₁O₂ — биссектриса. Тогда:
У куба всего шесть граней. Значит, имеется три пары противоположных граней, где в каждой паре числа на гранях отличаются в 1,5 раза Пусть в первой паре это числа а и 1,5а, во второй паре в и 1,5в, в третье паре с и 1,5с Сумма чисел в вершинах равна сумме чисел на гранях. Приравняем эту сумму числу 2016. а + 1,5а + в + 1,5в + с + 1,5 с = 2016 а + в + с + 1,5а + 1,5в + 1,5с = 2016 а + в + с + 1,5(а + в + с) = 2016 (а + в + с)•(1 + 1,5) = 2016 (а + в + с) • 2,5 = 2016 а + в + с = 2016 : 2,5 а + в + с = 806,4 Этого не может быть, поскольку в вершинах записаны натуральные числа, следовательно их сумма на каждой из гранях также является натуральным числом, и, соответственной сумма чисел на любых гранях также должна быть натуральным числом и не может быть дробью. ответ: нет, не может.
7.
Пусть
, количество корней от этого не изменится.
Рассмотрим функцию
:
До точки экстремума функция возрастает, а после — убывает. Значит, это точка максимума. Максимальное значение функции равно
. Прикинем график функции (см. рис. 1). Уравнение имеет 2 различных решения, если:
ответ:![(0; \frac{\sqrt[3]{2}}{2})](/tpl/images/0445/7312/80965.png)
8. При изменении размеров пирамиды соотношения между соответственными элементами не изменятся, поэтому примем для простоты вычислений сторону основания за 1.
Рассмотрим первую пирамиду:
Пусть SKM — сечение пирамиды SABCD, где K и M — середины BC и AD соответственно. Тогда в это сечение попадает окружность, вписанная в треугольник SKM и касающаяся KM в точке S' (проекция точки S), SK в точке K'. Пусть ∠SKS' = α, KO₁ — биссектриса, тогда:
Учитывая, что угол находится в первой четверти,
Рассмотрим вторую пирамиду:
Пусть S₁A₁C₁ — сечение пирамиды S₁A₁B₁C₁D₁. Это сечение содержит окружность, вписанную в треугольник S₁A₁C₁, касающуюся стороны A₁C₁ в точке S₁' (проекция точки S₁) и стороны S₁A₁ в точке A₁'. Пусть ∠S₁A₁S₁' = β, A₁O₂ — биссектриса. Тогда:
Решая аналогичное уравнение, получаем
ответ: 4 : 3