Question

Найти sin α и cos α, если tg α/2  = 5.

Answer 1

$\sin{\alpha}=\dfrac{5}{13},\cos{\alpha}=-\dfrac{12}{13}$

Пошаговое объяснение:

Пусть $tg\dfrac{\alpha}{2}=t,\alpha\in (-\pi,\pi)$. Тогда $\dfrac{\alpha}{2}=arctg\ t, \alpha =2arctg\ t$.

$\sin{\alpha}=\sin{(2arctg\ t)}=2\cdot\sin{arctg\ t}\cdot\cos{arctg\ t}$

Найдём синус и косинус от арктангенса. Поскольку $tg^2{x}+1=\dfrac{1}{\cos^2{x}}\Rightarrow \cos{x}=\sqrt{\dfrac{1}{tg^2{x}+1}}$, то $\cos{arctg\ t}=\sqrt{\dfrac{1}{tg^2arctg\ t+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{t^2+1}}$

Поскольку $ctg^2{x}+1=\dfrac{1}{\sin^2{x}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{tg^2{x}}+1=\dfrac{1}{\sin^2{x}}\Leftrightarrow \dfrac{1+tg^2{x}}{tg^2{x}}=\dfrac{1}{\sin^2{x}}\Rightarrow\\\Rightarrow \sin{x}=\sqrt{\dfrac{tg^2{x}}{tg^2{x}+1}}=\dfrac{tg\ x}{\sqrt{tg^2{x}+1}}$, то $\sin{arctg\ t}=\dfrac{tg\ arctg\ t}{\sqrt{tg^2{arctg\ t}+1}}=\dfrac{t}{\sqrt{t^2+1}}$.

Получаем: $\sin{\alpha}=2\cdot\dfrac{t}{\sqrt{t^2+1}}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{t^2+1}}=\dfrac{2t}{t^2+1}$

$\cos{\alpha}=\cos{(2arctg\ t)}=\cos^2{arctg\ t}-\sin^2{arctg\ t}=\left(\dfrac{1}{\sqrt{t^2+1}}\right)^2-\\ -\left(\dfrac{t}{\sqrt{t^2+1}}\right)^2=\dfrac{1}{t^2+1}-\dfrac{t^2}{t^2+1}=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}$

При t = 5: $\sin{\alpha}=\dfrac{2\cdot 5}{5^2+1}=\dfrac{10}{26}=\dfrac{5}{13},\cos{\alpha}=\dfrac{1-5^2}{1+5^2}=\dfrac{-24}{26}=-\dfrac{12}{13}$

P. S. Эта замена (через тангенс половинного угла) называется универсальной тригонометрической подстановкой.