Question

Известно, что tg α/2 = 1/2. Найти:
sin α • cos α • cos 2α.

Answer 1

-0,1344

Пошаговое объяснение:

Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой. Пусть $tg\dfrac{\alpha}{2}=t$. Тогда $\sin{\alpha}=\dfrac{2t}{1+t^2},\cos{\alpha}=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}$. При $t=\dfrac{1}{2}$:

$\sin{\alpha}=\dfrac{2\cdot \frac{1}{2}}{1+(\frac{1}{2})^2}=\dfrac{1}{\frac{5}{4}}=\dfrac{4}{5}\\\cos{\alpha}=\dfrac{1-(\frac{1}{2})^2}{1+(\frac{1}{2})^2}=\dfrac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{4}}=\dfrac{3}{5}\\\cos{2\alpha}=\cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}=\left(\dfrac{3}{5}\right)^2-\left(\dfrac{4}{5}\right)^2=-\dfrac{7}{25}$

Тогда искомое выражение $\sin{\alpha}\cdot\cos{\alpha}\cdot \cos{2\alpha}=\dfrac{4}{5}\cdot\dfrac{3}{5}\cdot\left(-\dfrac{7}{25}\right)=-\dfrac{84}{625}=-0{,}1344$