Question

В треугольник, длины сторон которого относятся как m : n : p, вписан круг. Найти отношение, в котором каждая точка касания делит
соответствующую сторону треугольника.

Answer 1

$\dfrac{AM}{MB}=\dfrac{m+p-n}{m+n-p},\dfrac{BN}{NC}=\dfrac{m+n-p}{n+p-m},\dfrac{CP}{PA}=\dfrac{n+p-m}{m+p-n}$

Пошаговое объяснение:

Введём следующие обозначения. Обозначим вершины треугольника как A, B, C, причём AB : BC : AC = m : n : p. Обозначим точки касания с AB как M, с BC — N, AC — P, отрезки касательных AM = AP = x, BM = BN = y, CN = CP = z (отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны).

Из отношения AB : BC : AC = m : n : p следует, что AB = mk, BC = nk, AC = pk. Тогда получаем $\begin{cases}x+y=mk,\\y+z=nk,\\x+z=pk\end{cases}$

Вычтем из третьего уравнения второе и запишем его в системе с первым: $\begin{cases}x+y=mk,\\x-y=pk-nk\end{cases}\begin{cases}2x=mk+pk-nk,\\2y=mk-pk+nk\end{cases}\begin{cases}x=\dfrac{m+p-n}{2}k,\\y=\dfrac{m+n-p}{2}k\end{cases}$

Подставим найденный x в третье уравнение и выразим z: $z=pk-x=pk-\dfrac{m+p-n}{2}k=\dfrac{n+p-m}{2}k$.

Тогда искомые отношения: $\dfrac{x}{y}=\dfrac{m+p-n}{m+n-p},\dfrac{y}{z}=\dfrac{m+n-p}{n+p-m},\dfrac{z}{x}=\dfrac{n+p-m}{m+p-n}$