Question

[Высшая математика] Вычислить определённый интеграл: $\int\limits^\frac{\pi }{2} _0 {sin^{18} } \, {x*cosx}\ dx$

Answer 1

1/19

Пошаговое объяснение:

df(x)=f'(x)*dx⇒cosx*dx=d(sinx)

введем замену sinx=t

тогда пределы интегрирования изменятся так:

нижний предел tнижн.= sin0=0; верхний tверхн.=sinπ/2=1;

∫t⁸dt=t¹⁹/19

подставим по формуле Ньютона - Лейбница пределы интегрирования. получим (1¹⁹/19)-(0¹⁹/19)=1/19

Answer 2

Метод замены переменной в определённом интеграле .

$\displaystyle \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\, sin^{18}x\cdot cosx\, dx=\Big[\ t=sinx\ ,\ dt=cosx\, dx\ ,\ t(0)=sin0=0\ ,$

$t(\frac{\pi}{2})=sin\dfrac{\pi}{2}=1\, \Big]=\displaystyle \int\limits_0^1\, t^{18}\cdot dt=\frac{t^{19}}{19}\, \Big|_0^1=\frac{1}{19}\cdot (1^{19}-0^{19})=\frac{1}{19}$