Натуральне число можна множити на 2 і довільним чином переставляти в ньому цифри (заборонено лише ставити 0 на перше місце). Доведіть, що перетворити число 1 на число 74 за до таких операцій неможливо.
Спочатку будемо множити число на 2. Якщо число закінчується на 1, то при множенні на 2 остання цифра стане 2, а не 4, тож перетворення на число 74 стане неможливим. Якщо ж число закінчується на 2, то після множення на 2 остання цифра стане 4.
Тепер розглянемо всі можливі перестановки цифр у числі, закінченому на 4. Всього можливо $3!=6$ перестановок, але серед них є такі:
- Якщо переставити цифри $4$ та $1$ місцями, то отримаємо число, яке ділиться на $4$, а отже, при множенні на $2$ остання цифра не зміниться на $4$, тож перетворення стане неможливим.
- Якщо переставити цифри $4$ та $7$ місцями, то отримаємо число $47$, яке ділиться на $4$, а отже, при множенні на $2$ остання цифра не зміниться на $4$, тож перетворення стане неможливим.
Таким чином, жодна з перестановок не дозволяє перетворити число $1$ на число $74$, а отже, таке перетворення неможливе.
Если продлить AO до пересечения с окружностью в тоске C1, то угол AC1B = угол ACB - это вписанные углы, опирающиеся на дугу AB. Поскольку AC1 - диаметр, то угол ABC1 - прямой. Поэтому у углов ABD и AC1B стороны попарно перпендикулярны, то есть эти углы равны. (Можно и так сказать. Треугольник AC1B - прямоугольный, а BD - высота в этом прямоугольном треугольнике, поэтому образует с катетом угол, равный острому углу треугольника AC1B. Высота в прямоугольном треугольнике делит его на два треугольника, ему же подобных, то есть - с такими же углами). Получилось, что угол ABD = угол AC1B = угол ACB. Треугольники ACB и ADB имеют общий угол CAB (он же - угол DAB), и пару равных углов (угол ABD = угол ACB) , то есть эти треугольники подобны. Поэтому DA/AB = AB/AC; DA = AB^2/AC = 28^2/56 = 14; CD = AC - DA = 42;
То, что угол ABD = угол ACB, можно показать еще одним если продлить BD до пересечения с окружностью в точке B1, то треугольник ABB1 будет равнобедренный. Действительно, AO перпендикулярен BB1, а точка O равноудалена от B и B1, поэтому все точки прямой AO равноудалены от концов отрезка BB1. Поэтому угол AB1B будет равным углу ABB1 (он же - угол ABD). Но угол AB1B опирается на ту же дугу, что и угол ACB.
Спочатку будемо множити число на 2. Якщо число закінчується на 1, то при множенні на 2 остання цифра стане 2, а не 4, тож перетворення на число 74 стане неможливим. Якщо ж число закінчується на 2, то після множення на 2 остання цифра стане 4.
Тепер розглянемо всі можливі перестановки цифр у числі, закінченому на 4. Всього можливо $3!=6$ перестановок, але серед них є такі:
- Якщо переставити цифри $4$ та $1$ місцями, то отримаємо число, яке ділиться на $4$, а отже, при множенні на $2$ остання цифра не зміниться на $4$, тож перетворення стане неможливим.
- Якщо переставити цифри $4$ та $7$ місцями, то отримаємо число $47$, яке ділиться на $4$, а отже, при множенні на $2$ остання цифра не зміниться на $4$, тож перетворення стане неможливим.
Таким чином, жодна з перестановок не дозволяє перетворити число $1$ на число $74$, а отже, таке перетворення неможливе.