Question

Строится числовая последовательность: первый ее член равен 3 в степени 1986, а каждый следующий член, начиная со второго, равен сумме цифр предыдущего. найдите десятый член этой последовательности.

Answer 1

 Воспользуемся тем что число делится на 9 , тогда и только тогда когда сумма его цифр делится на 9 . Из первого члена очевидно что оно делится на 9 , так как степень 3 
запишем ее в виде 
$a_{1}=3^{1986}=10^{n}*x_{1}+10^{n-2}*x_{2}+10^{n-3}*x_{3}...+x_{z}$
то есть второй член тогда будет равен   
$a_{2}=x_{1}+x_{2}+x_{3}...+x_{z}$ заметим то что каждый член будет делится на 9 , потому сумма каждого числа делится на 9.  То есть кратно $9n$ 
Возьмем для начало такое число $9999999999999.........9$ то есть пусть она по количеству цифр будет равна количеству цифр числа $3^{1986}$ , очевидно что это число будет иметь по крайней мере $1000$ цифр 
то есть мы предположим что самое максимальное число заданными только 9 
и их сумма уже будет равна 9*1000=9000, но возьмем еще 8 , для того что бы посмотреть максимальную сумму , 9*1008=9072 
то есть видно что второе число уже будет грубо 
$a_{2}=9+7+2=18$
$a_{3}=9$ , и $a_{4}=9$  , $a_{5}=9$       ,  $a_{6}=9$ , и.т.д и очевидно $a_{10}=9$ 
ответ 9