Question

Дана функция f(x)=x^2-2lnx+3 1)найти f(e^1/2) 2)найти интервал возрастания функции f(x) 3)найти точки экстремума и значения функции f(x) в этих точках 4)решить уравнение f(x)=g(x),где g(x)=x^2+ln^2x

Answer 1

Дана функция f(x)=x^2-2lnx+3
1)Найти f(e^1/2)
2)Найти интервал возрастания функции f(x)
3)Найти точки экстремума и значения функции f(x) в этих точках
4)Решить уравнение  f(x)=g(x),где g(x)=x^2+ln^2x

Решение:
1) f(e^1/2) =((e^(1/2))^2 - 2*ln(e^(1/2)) + 3=e-2*(1/2)*ln(e) + 3 = e - 1 + 3 = e + 2 ≈ 4,72
2) Интервал возрастания функции f(x)
Функция определена для всех х принадлежащих (0;+бесконечность)
Найдем производную функции
f'(x)= (x^2-2lnx+3)' = 2x-2*(1/x) = 2x-2/x =2(x^2-1)/x
2(x^2-1)/x >0
 Так как х>0 то необходимо найти
 {x^2-1>0
 {x>0
 или
 {(x-1)(x+1)>0
 {x>0
 По методом интервалов  находим знаки производной
 
              -  0   +
       !!
             0    1
  Функция возрастает при всех значения
 х принадлежащих промежутку (1;+ бесконечность)

 3)Точки экстремума и значения функции f(x) в этих точках
 Производная меняет знак в точке х=1 с минуса(убывание) на плюс(возрастание)
 Поэтому в этой точке функция f(x) имеет минимум
 f(1)min = 1^2-2ln(1)+3 =1-2*0+3 =4
4)Решим уравнение  f(x)=g(x),где g(x)=x^2+ln^2x  
            f(x)=g(x)
   x^2-2ln(x)+3 = x^2+ln^2(x)
   ln^2(x)+2ln(x) -3=0
   Замена переменных
     y = ln(x)
     y^2+2y+3=0
     D =4 +4*3 = 16
     y1 = (-2-4)/2 =-3
     y2 = (-2+4)/2 =1
     Находим значения х
 При y1 = -3
 ln(x) =-3
 x1 = e^(-3)
 При y2=1
 ln(x)=1
 x2 = e

Answer 2

$1) f(e^{ \frac{1}{2} })=e-1+3=e+2$
$2) f^'x=2x- \frac{2}{x} =0;x=1$
(0;1) - убывает;(1;+беск) - возрастает
3) x=1 точка min; f(1)=4
4) $x^{2} -2lnx+3= x^{2} + ln^{2} x$
lnx=t
$-2t+3= t^{2}$
$t^{2} +2t-3=0$
$t_{1,2}= \frac{-2+-4}{2}=1;-3$
$lnx=1;x_1=e$
$lnx=-3; x_2= \frac{1}{e^3}$